2.3 Største felles faktor (SFF) og minste felles multiplum (MFM)

Hva har tallene til felles?

Tenk deg at du skal dele $24$ sjokolader og $36$ kjeks jevnt i poser. Hver pose skal ha like mange sjokolader, og like mange kjeks -- og du vil lage flest mulig poser. Hvor mange poser kan du lage?

Antall poser må gå opp i både $24$ og $36$. Tallene som går opp i $24$ (faktorene) er: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$. Tallene som går opp i $36$ er: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$.

Felles faktorer -- tall som er i begge listene: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

Den største av dem er $12$. Altså kan du lage $12$ poser (med $2$ sjokolader og $3$ kjeks i hver).

Tallet $12$ kalles største felles faktor av $24$ og $36$, og vi skriver $\text{SFF}(24, 36) = 12$.

Men hva om spørsmålet er annerledes? To busser kjører fra samme holdeplass. Buss A kommer hvert $8.$ minutt, buss B hvert $12.$ minutt. Når kommer de neste gang samtidig? Da trenger vi det minste felles multiplum: $\text{MFM}(8, 12) = 24$ minutter.

SFF med primtallsfaktorisering

Å liste opp alle faktorer fungerer for små tall, men for store tall trenger vi en bedre metode. Her kommer primtallsfaktorisering til unnsetning!

Oppskrift for SFF:
1. Faktoriser begge tallene i primtall
2. Finn primtallene som er felles for begge
3. For hvert felles primtall, velg den laveste eksponenten
4. Gang sammen

Eksempel: SFF(72, 120)

Faktoriser:
$$72 = 2^3 \cdot 3^2$$
$$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$$

Felles primtall: $2$ og $3$ (begge forekommer i begge faktoriseringene).

- $2$: laveste eksponent er $\min(3, 3) = 3$
- $3$: laveste eksponent er $\min(2, 1) = 1$
- $5$: bare i $120$, ikke felles -- hopp over

$$\text{SFF}(72, 120) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$$

Eksempel: SFF(48, 180)

$$48 = 2^4 \cdot 3$$
$$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$$

Felles: $2$ og $3$.
- $2$: $\min(4, 2) = 2$
- $3$: $\min(1, 2) = 1$

$$\text{SFF}(48, 180) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$$

Intuisjonen: SFF er «det som er felles» -- vi beholder bare det begge tallene deler, og tar minst mulig av hver.

MFM med primtallsfaktorisering

Minste felles multiplum (MFM) er det minste tallet som begge tallene går opp i. Der SFF finner det tallene deler, finner MFM det som forener dem.

Oppskrift for MFM:
1. Faktoriser begge tallene i primtall
2. Finn alle primtall som forekommer (i minst ett av tallene)
3. For hvert primtall, velg den høyeste eksponenten
4. Gang sammen

Eksempel: MFM(72, 120)

$$72 = 2^3 \cdot 3^2$$
$$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$$

Alle primtall: $2, 3, 5$.
- $2$: høyeste eksponent $= \max(3, 3) = 3$
- $3$: høyeste eksponent $= \max(2, 1) = 2$
- $5$: høyeste eksponent $= \max(0, 1) = 1$

$$\text{MFM}(72, 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$$

Sjekk: $360 \div 72 = 5$ ✓ og $360 \div 120 = 3$ ✓

Sammenheng mellom SFF og MFM:

Det finnes en nyttig formel:

$$\text{SFF}(a, b) \cdot \text{MFM}(a, b) = a \cdot b$$

For $72$ og $120$: $24 \cdot 360 = 8640 = 72 \cdot 120$ ✓

Denne formelen gir en snarvei: hvis du allerede har funnet SFF, kan du finne MFM ved divisjon:

$$\text{MFM}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{SFF}(a, b)}$$

Praktiske bruksområder

SFF og MFM er ikke bare teori -- de dukker opp i mange praktiske situasjoner.

SFF i praksis -- dele jevnt:
Du har $24$ epler og $36$ bananer. Du vil lage flest mulig like fruktposer. $\text{SFF}(24, 36) = 12$, så du kan lage $12$ poser med $2$ epler og $3$ bananer i hver.

MFM i praksis -- når ting sammenfaller:
Du trener svømming hver $3.$ dag og løping hver $5.$ dag. Du trener begge deler i dag. Om hvor mange dager trener du begge deler igjen? $\text{MFM}(3, 5) = 15$ dager.

MFM i praksis -- fliser og mønster:
Du skal flislegge et gulv som er $180$ cm $\times$ $120$ cm med kvadratiske fliser uten å skjære noen flis. Hva er den største flisstørrelsen? Sidelengden må gå opp i både $180$ og $120$: $\text{SFF}(180, 120) = 60$ cm.

SFF med tre tall:
Finn $\text{SFF}(12, 18, 24)$. Faktoriser: $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$, $24 = 2^3 \cdot 3$. Felles primtall med laveste eksponent: $2^1 \cdot 3^1 = 6$.

Oppsummering

- MFM: det som forener tallene -- ta det største av alt

Når bruker du hva?
- SFF: dele jevnt, forenkle brøker, finne fellesnevner
- MFM: finne når hendelser sammenfaller, finne fellesnevner i brøk