8.2 Hoderegningsstrategier – multiplikasjon og divisjon

Multiplikasjon og divisjon uten kalkulator

Multiplikasjon og divisjon kan virke vanskelig å gjøre i hodet. Å gange $17 \cdot 24$ rett frem krever at du holder mange mellomresultater i hukommelsen. Men akkurat som med addisjon og subtraksjon finnes det smarte strategier som gjør jobben mye lettere.

Grunnideen er den samme: gjør regnestykket enklere. I stedet for å gange med $24$ direkte, kan du for eksempel gange med $25$ og justere. I stedet for å dele på $15$, kan du dele på $5$ og deretter på $3$.

La oss utforske de viktigste strategiene.

Strategi 1: Dobling og halvering

Denne strategien bygger på en enkel idé: hvis du dobler den ene faktoren og halverer den andre, forblir produktet det samme.

$$a \cdot b = (2a) \cdot \frac{b}{2}$$

Eksempel: $35 \cdot 18$

Halvér $18$ og doble $35$:
$$35 \cdot 18 = 70 \cdot 9 = 630$$

$70 \cdot 9$ er mye enklere å gjøre i hodet enn $35 \cdot 18$!

Eksempel: $25 \cdot 48$

Doble $25$ og halvér $48$:
$$25 \cdot 48 = 50 \cdot 24 = 1200$$

Eller doble og halvér en gang til:
$$50 \cdot 24 = 100 \cdot 12 = 1200$$

Du kan doble og halvere flere ganger for å nå fine tall.

Eksempel: $125 \cdot 16$

$$125 \cdot 16 = 250 \cdot 8 = 500 \cdot 4 = 1000 \cdot 2 = 2000$$

Denne strategien er spesielt nyttig når én av faktorene er et tall som ender på $5$ eller $25$ -- da gir dobling et pent tiertal.

Strategi 2: Bryte opp faktorer (distributiv lov)

Denne strategien bruker den distributive loven -- at vi kan dele opp en av faktorene og gange delene hver for seg:

$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

Eksempel: $7 \cdot 43$

Bryt opp $43 = 40 + 3$:
$$7 \cdot 43 = 7 \cdot 40 + 7 \cdot 3 = 280 + 21 = 301$$

Eksempel: $6 \cdot 98$

Her er det lurere å bryte opp $98 = 100 - 2$:
$$6 \cdot 98 = 6 \cdot 100 - 6 \cdot 2 = 600 - 12 = 588$$

Se hva som skjedde: i stedet for å gange med $98$ direkte, ganget vi med $100$ (som er superlettl) og trakk fra et lite produkt. Denne varianten -- der vi runder opp og trekker fra -- er ofte raskere enn å addere.

Eksempel: $12 \cdot 15$

Bryt opp $12 = 10 + 2$:
$$12 \cdot 15 = 10 \cdot 15 + 2 \cdot 15 = 150 + 30 = 180$$

Alternativt: Bryt opp $15 = 10 + 5$:
$$12 \cdot 15 = 12 \cdot 10 + 12 \cdot 5 = 120 + 60 = 180$$

Begge gir riktig svar -- velg den oppdelingen du synes er enklest!

Strategi 3: Faktorisering (del opp i enklere gangestykker)

I stedet for å bryte opp ett tall i en sum, kan du bryte det opp i et produkt av enklere faktorer.

Eksempel: $15 \cdot 14$

Skriv $14 = 2 \cdot 7$:
$$15 \cdot 14 = 15 \cdot 2 \cdot 7 = 30 \cdot 7 = 210$$

Eksempel: $36 \cdot 25$

Skriv $36 = 4 \cdot 9$:
$$36 \cdot 25 = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 4 \cdot 25 \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900$$

Her brukte vi at multiplikasjon er kommutativ (rekkefølgen spiller ingen rolle) -- vi flyttet faktorene for å lage et pent produkt ($4 \cdot 25 = 100$).

For divisjon bruker vi en lignende idé -- del opp divisoren i faktorer og divider steg for steg:

Eksempel: $720 \div 18$

Skriv $18 = 2 \cdot 9$:
$$720 \div 18 = 720 \div 2 \div 9 = 360 \div 9 = 40$$

Eller skriv $18 = 3 \cdot 6$:
$$720 \div 3 = 240, \quad 240 \div 6 = 40$$

Å dele på $2$ og deretter på $9$ er mye enklere enn å dele på $18$ direkte!

Spesialtriks for ganging med 5, 9, 11 og 25

Noen tall dukker opp så ofte at det lønner seg å ha egne triks for dem:

Gange med $5$: Gang med $10$ og halvér.
$$38 \cdot 5 = 38 \cdot 10 \div 2 = 380 \div 2 = 190$$

Gange med $9$: Gang med $10$ og trekk fra tallet selv.
$$7 \cdot 9 = 7 \cdot 10 - 7 = 70 - 7 = 63$$
$$23 \cdot 9 = 230 - 23 = 207$$

Gange med $11$: For tosifrede tall $\overline{ab}$: sett summen av sifrene mellom dem.
$$34 \cdot 11: \quad 3 \underbrace{(3+4)}_{7} 4 = 374$$
$$62 \cdot 11: \quad 6 \underbrace{(6+2)}_{8} 2 = 682$$

(Hvis summen av sifrene er $10$ eller mer, må du «bære over» til sifferet foran.)

Gange med $25$: Gang med $100$ og del på $4$.
$$32 \cdot 25 = 32 \cdot 100 \div 4 = 3200 \div 4 = 800$$

Dele på $5$: Doble og del på $10$.
$$135 \div 5 = 270 \div 10 = 27$$

Oppsummering

Strategier for hoderegning med multiplikasjon og divisjon: