4.6 Pytagoras' setning

Den berømteste formelen i geometrien

For over 2500 år siden oppdaget den greske matematikeren Pytagoras (eller i hvert fall hans tilhengere) en sammenheng som forandret matematikken for alltid. De fant ut at i en rettvinklet trekant finnes det en magisk forbindelse mellom sidene.

Denne sammenhengen -- Pytagoras' setning -- er kanskje den mest kjente formelen i hele matematikken. Den brukes fortsatt hver eneste dag: av snekkere som sjekker om vegger er rette, av GPS-systemer som beregner avstander, av spillutviklere som beregner bevegelser, og av astronomer som måler avstander i verdensrommet.

Og det beste? Formelen er overraskende enkel.

Kateter og hypotenus

Før vi kan forstå Pytagoras' setning, må vi kjenne navnene på sidene i en rettvinklet trekant:

- Hypotenusen er den lengste siden -- den som ligger mot den rette vinkelen. Den er alltid lengst.
- Katetene er de to kortere sidene -- de som danner den rette vinkelen.

Vi kaller katetene $a$ og $b$, og hypotenusen $c$.

Pytagoras' setning sier:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

I ord: Summen av kvadratene av katetene er lik kvadratet av hypotenusen.

Hva betyr dette geometrisk? Tegn et kvadrat på hver side av trekanten. Arealet av kvadratet på den ene kateten ($a^2$) pluss arealet av kvadratet på den andre kateten ($b^2$) er nøyaktig lik arealet av kvadratet på hypotenusen ($c^2$). Fantastisk!

Eksempel: En rettvinklet trekant har kateter $a = 3$ cm og $b = 4$ cm.

$$c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$
$$c = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

Trekanten med sider $3$, $4$ og $5$ er den mest kjente pytagoreiske trekanten. Andre eksempler er $5, 12, 13$ og $8, 15, 17$.

Finne en katet

Pytagoras' setning er ikke bare nyttig for å finne hypotenusen. Hvis du kjenner hypotenusen og en katet, kan du finne den andre kateten ved å omforme formelen:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Hvis vi vil finne $a$:

$$a^2 = c^2 - b^2$$
$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Eksempel: En stige er $5$ m lang og står med foten $3$ m fra veggen. Hvor høyt opp på veggen når stigen?

Her er stigen hypotenusen ($c = 5$ m), avstanden fra veggen er en katet ($b = 3$ m), og høyden opp veggen er den andre kateten ($a$):

$$a^2 = c^2 - b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$
$$a = \sqrt{16} = 4 \text{ m}$$

Stigen når $4$ m opp på veggen.

Viktig: Husk at vi trekker fra for å finne en katet, men legger til for å finne hypotenusen. Hypotenusen er alltid lengst, så $c^2$ er alltid størst!

Pytagoras i praksis

Pytagoras' setning dukker opp overalt. Her er noen vanlige bruksområder:

Avstand mellom to punkter

Hvis du kjenner koordinatene til to punkter, kan du finne avstanden mellom dem. Punkt $A = (x_1, y_1)$ og punkt $B = (x_2, y_2)$:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Dette er egentlig bare Pytagoras! Differansen i $x$-retning er en katet, differansen i $y$-retning er den andre kateten, og avstanden er hypotenusen.

Eksempel: Finn avstanden mellom $A = (1, 2)$ og $B = (4, 6)$.

$$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Sjekke rette vinkler (3-4-5-metoden)

Snekkere og bygningsarbeidere bruker Pytagoras til å sjekke at hjørner er rette. Mål $3$ m langs den ene veggen og $4$ m langs den andre. Hvis diagonalen er nøyaktig $5$ m, er hjørnet $90°$. Denne metoden ble brukt allerede av de gamle egypterne!

Diagonalen i et rektangel

Diagonalen i et rektangel med sider $a$ og $b$ er:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

For eksempel har en TV-skjerm på $40$ tommer en diagonal på $40$ tommer. Hvis skjermen er $32$ tommer bred, er høyden $\sqrt{40^2 - 32^2} = \sqrt{1600 - 1024} = \sqrt{576} = 24$ tommer.

Pytagoreiske tripler og omvendt Pytagoras

Pytagoreiske tripler

Et pytagoreisk trippel er tre hele tall $(a, b, c)$ som oppfyller $a^2 + b^2 = c^2$. De vanligste er:

Omvendt Pytagoras: Sjekke om en trekant er rettvinklet

- Hvis $a^2 + b^2 < c^2$: Trekanten er stumpvinket

Eksempel: Er trekanten med sider $5$, $7$ og $9$ rettvinklet?

$5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$, men $9^2 = 81$.

Siden $74 < 81$, er trekanten stumpvinket (vinkelen mot den lengste siden er stump).

Oppsummering

Pytagoras' setning: I en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Finne hypotenusen: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Finne en katet: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Avstand mellom to punkter: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Pytagoreiske tripler: Heltallsløsninger som $3, 4, 5$ og $5, 12, 13$.

Omvendt Pytagoras: Sjekk $a^2 + b^2$ mot $c^2$ for å avgjøre om en trekant er rettvinklet ($=$), spissvinket ($>$) eller stumpvinket ($<$).

Husk: Hypotenusen er alltid den lengste siden og ligger mot den rette vinkelen. Du legger til for å finne hypotenusen, trekker fra for å finne en katet.