4.2 Areal og omkrets

Hvor mye maling trenger du?

Tenk deg at du skal male rommet ditt. For å vite hvor mye maling du trenger, må du finne arealet av veggene. Eller kanskje du skal sette opp et gjerde rundt hagen -- da trenger du omkretsen. Eller du skal legge nytt gulv, bestille teppe, eller så gress på en plen.

Omkrets er lengden rundt en figur -- summen av alle sidene. Areal er størrelsen på flaten inni figuren -- hvor mye plass den dekker.

Omkrets måles i lengdeenheter (cm, m, km), mens areal måles i kvadratenheter ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$). $1\,\text{m}^2$ er arealet av et kvadrat med sider på $1$ m -- omtrent plassen en liten stol opptar.

La oss se på formlene for de vanligste figurene.

Rektangel og kvadrat

Et rektangel har fire rette vinkler og to par med like lange sider. Vi kaller lengden $l$ og bredden $b$.

$$\text{Omkrets} = 2l + 2b = 2(l + b)$$

$$\text{Areal} = l \cdot b$$

Et kvadrat er et spesialtilfelle der alle fire sider er like lange ($s$):

$$\text{Omkrets} = 4s$$

$$\text{Areal} = s^2$$

Eksempel: Et rom er $5$ m langt og $4$ m bredt.
- Omkrets: $2(5 + 4) = 2 \cdot 9 = 18$ m (dette er lengden langs gulvlistene)
- Areal: $5 \cdot 4 = 20\,\text{m}^2$ (dette er gulvflaten)

Hvorfor fungerer arealformelen? Tenk deg at du dekker gulvet med fliser som er $1\,\text{m} \times 1\,\text{m}$. Du får $5$ fliser i lengden og $4$ rader, altså $5 \cdot 4 = 20$ fliser. Hver flis er $1\,\text{m}^2$, så arealet er $20\,\text{m}^2$.

Trekant

Husker du at et rektangel har areal $l \cdot b$? Hvis du klipper rektangelet diagonalt i to, får du to trekanter. Hver trekant har altså halvparten av rektangelets areal.

For en trekant med grunnlinje $g$ og høyde $h$ (den vinkelrette avstanden fra grunnlinjen til det motsatte hjørnet):

$$\text{Areal} = \frac{g \cdot h}{2}$$

Viktig: Høyden er alltid vinkelrett på grunnlinjen! I en rettvinklet trekant er høyden en av katetene, men i andre trekanter kan høyden gå utenom selve trekanten (det skjer i stumpvinklede trekanter).

Eksempel: En trekant har grunnlinje $10$ cm og høyde $6$ cm.

$$\text{Areal} = \frac{10 \cdot 6}{2} = \frac{60}{2} = 30\,\text{cm}^2$$

Omkretsen av en trekant er rett og slett summen av de tre sidene:

$$\text{Omkrets} = a + b + c$$

der $a$, $b$ og $c$ er lengdene av de tre sidene.

Parallellogram og trapes

Parallellogram

Et parallellogram er en firkant der motstående sider er parallelle og like lange. Et rektangel er et spesialtilfelle av et parallellogram (med rette vinkler).

Arealformelen for et parallellogram er overraskende enkel. Tenk deg at du klipper av en trekant på den ene siden og limer den på den andre -- da får du et rektangel! Arealet er:

$$\text{Areal} = g \cdot h$$

der $g$ er grunnlinjen og $h$ er den vinkelrette høyden (ikke sidelengden!).

Eksempel: Et parallellogram har grunnlinje $12$ cm og høyde $5$ cm.

$$\text{Areal} = 12 \cdot 5 = 60\,\text{cm}^2$$

Trapes

Et trapes har nøyaktig ett par parallelle sider. De parallelle sidene kalles $a$ (den ene parallelle siden) og $b$ (den andre), og $h$ er den vinkelrette avstanden mellom dem.

Arealformelen finner vi ved å tenke på trapeset som to trekanter (eller legge to like trapeser sammen til et parallellogram):

$$\text{Areal} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$

Eksempel: Et trapes har parallelle sider $8$ cm og $12$ cm, og høyde $4$ cm.

$$\text{Areal} = \frac{(8 + 12) \cdot 4}{2} = \frac{20 \cdot 4}{2} = \frac{80}{2} = 40\,\text{cm}^2$$

Sirkelen

Sirkelen er spesiell fordi den ikke har noen rette linjer. Alle punkter på sirkelen har lik avstand til sentrum. Denne avstanden kalles radius ($r$). Diameteren ($d$) er avstanden tvers over sirkelen gjennom sentrum, altså $d = 2r$.

Formlene for sirkelen bruker det magiske tallet pi ($\pi \approx 3{,}14$):

$$\text{Omkrets} = 2\pi r = \pi d$$

$$\text{Areal} = \pi r^2$$

Hva er $\pi$? Det er forholdet mellom omkretsen og diameteren til enhver sirkel. Uansett hvor stor eller liten sirkelen er, er $\displaystyle \frac{\text{omkrets}}{\text{diameter}}$ alltid $\pi$. Det er et irrasjonalt tall med uendelig mange desimaler: $3{,}14159265\ldots$

Eksempel: En sirkulær plen har radius $5$ m.
- Omkrets: $2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4$ m (lengden du trenger gjerde)
- Areal: $\pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5\,\text{m}^2$ (gressflaten)

Halvsirkel og kvartsirkel

Noen ganger møter du deler av sirkelen:
- Halvsirkel: Areal $\displaystyle = \frac{\pi r^2}{2}$, bue $= \pi r$ (pluss diameteren for total omkrets)
- Kvartsirkel: Areal $\displaystyle = \frac{\pi r^2}{4}$, bue $\displaystyle = \frac{\pi r}{2}$ (pluss to radier for total omkrets)

Oppsummering