5.4 Proporsjonalitet

Dobbelt så mye -- dobbelt så dyrt?

Forestill deg at du kjøper epler i en butikk. 1 kg koster 30 kr. 2 kg koster 60 kr. 3 kg koster 90 kr. Ser du mønsteret? Dobler du mengden, dobles prisen. Tredobler du mengden, tredobles prisen. Forholdet mellom pris og vekt er alltid det samme: 30 kr per kg.

Denne typen sammenheng kalles proporsjonalitet, og den er en av de mest grunnleggende ideene i matematikken. Når to størrelser er proporsjonale, betyr det at de vokser (eller minker) i takt: endrer du den ene med en viss faktor, endres den andre med samme faktor.

I dette kapittelet skal vi utforske hva proporsjonalitet egentlig betyr, hvordan vi gjenkjenner det, og hvordan vi bruker det til å løse praktiske problemer.

Hva betyr proporsjonalitet?

To størrelser er proporsjonale dersom forholdet mellom dem alltid er det samme. Vi kan skrive dette som:

$$\frac{y}{x} = k$$

der $k$ er en konstant som kalles proporsjonalitetskonstanten (eller bare «konstanten»). Det betyr at $y = kx$.

Tilbake til eplene: prisen $y$ og vekten $x$ er proporsjonale med $k = 30$, fordi:

$$\frac{30}{1} = \frac{60}{2} = \frac{90}{3} = 30$$

Uansett hvor mange kilo du kjøper, er prisen per kilo alltid 30 kr.

Kjennetegn på proporsjonale størrelser:
- Forholdet $\displaystyle \frac{y}{x}$ er konstant for alle verdier
- Grafen er en rett linje gjennom origo $(0, 0)$
- Når den ene størrelsen er $0$, er den andre også $0$
- Dobler du den ene, dobles den andre

Sammenlign med spareeksempelet fra forrige kapittel: $S(x) = 50x + 200$. Her er forholdet $\displaystyle \frac{S}{x}$ IKKE konstant, fordi du starter med 200 kr. Etter 1 uke: $\displaystyle \frac{250}{1} = 250$. Etter 2 uker: $\displaystyle \frac{300}{2} = 150$. Ulike tall! Det er lineært, men IKKE proporsjonalt.

Forhold og forholdstall

Et forhold sammenligner to størrelser. Vi skriver det med kolon eller som en brøk:

$$3 : 5 \quad \text{eller} \quad \frac{3}{5}$$

Forhold brukes overalt. Oppskrifter bruker forhold: «2 dl mel til 3 dl melk». Kart bruker målestokk: «1 : 50,000» betyr at 1 cm på kartet tilsvarer 50 000 cm (= 500 m) i virkeligheten.

Forenkle forhold: Vi kan forenkle forhold akkurat som brøker -- ved å dele begge tall med det samme.

$12 : 8 = 3 : 2$ (delt begge med $4$)

$15 : 25 = 3 : 5$ (delt begge med $5$)

Regning med forhold:

Tenk deg at du blander saft. Oppskriften sier at forholdet mellom saft og vann skal være $1 : 4$. Du vil lage 2,5 liter totalt. Hvor mye saft trenger du?

Totalt er det $1 + 4 = 5$ deler. Hver del er $\displaystyle \frac{2{,}5}{5} = 0{,}5$ liter. Saften utgjør $1$ del: $1 \times 0{,}5 = 0{,}5$ liter. Vannet utgjør $4$ deler: $4 \times 0{,}5 = 2{,}0$ liter.

Sjekk: $0{,}5 + 2{,}0 = 2{,}5$ liter. Stemmer!

Omvendt proporsjonalitet

Noen ganger er sammenhengen «omvendt»: når den ene størrelsen øker, minker den andre -- slik at produktet alltid er det samme.

$$x \cdot y = k$$

eller

$$y = \frac{k}{x}$$

Eksempel: Du skal male et gjerde, og jobben tar 12 «arbeidstimer». Hvis du jobber alene, bruker du 12 timer. Hvis 2 personer jobber, bruker dere $12 \div 2 = 6$ timer. Hvis 3 personer jobber: $12 \div 3 = 4$ timer. Hvis 4 personer jobber: $12 \div 4 = 3$ timer.

Merk: $1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4 = 4 \times 3 = 12$. Produktet er alltid $12$.

Dobler du antall arbeidere, halveres tiden. Det er omvendt proporsjonalitet.

Grafen til omvendt proporsjonalitet er IKKE en rett linje -- den er en bue (en hyperbel) som nærmer seg aksene uten å treffe dem. Dette er altså noe helt annet enn en lineær funksjon.

Oppsummert:
- Proporsjonalt: $y = kx$. Dobles $x$, dobles $y$.
- Omvendt proporsjonalt: $\displaystyle y = \frac{k}{x}$. Dobles $x$, halveres $y$.

Proporsjonalitet i praksis

Proporsjonalitet dukker opp i mange situasjoner:

Valutaveksling: Hvis 1 euro koster 11,50 kr, koster 5 euro $5 \times 11{,}50 = 57{,}50$ kr. Prisen i kroner er proporsjonal med antall euro.

Hastighet og avstand: Hvis du sykler med jevn hastighet på 20 km/t, tilbakelegger du 40 km på 2 timer, 60 km på 3 timer, og så videre. Avstanden er proporsjonal med tiden (så lenge hastigheten er konstant).

Oppskrifter: En oppskrift for 4 personer bruker 3 dl melk. For 8 personer trenger du $\displaystyle \frac{8}{4} \times 3 = 6$ dl. Mengden ingredienser er proporsjonal med antall porsjoner.

Kryssgangeregel (kryss-multiplikasjon): Når du har to like forhold, kan du kryss-multiplisere:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c$$

Eksempel: 3 kg epler koster 75 kr. Hva koster 7 kg?

$$\frac{3}{75} = \frac{7}{x}$$

Kryss-multiplikasjon: $3 \cdot x = 75 \cdot 7 = 525$, altså $\displaystyle x = \frac{525}{3} = 175$ kr.

Oppsummering

Proporsjonale størrelser har konstant forhold: $\displaystyle \frac{y}{x} = k$, altså $y = kx$. Grafen er en rett linje gjennom origo. Dobler du $x$, dobles $y$.

Forhold sammenligner to størrelser ($3 : 5$) og kan forenkles som brøker.

Omvendt proporsjonalitet: $x \cdot y = k$. Dobles $x$, halveres $y$.

Kryssgangeregelen: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$

Viktig å huske:
- Proporsjonalt $\neq$ lineært. Proporsjonalt krever at linjen går gjennom origo ($b = 0$).
- Sjekk proporsjonalitet ved å se om $\displaystyle \frac{y}{x}$ er konstant for alle verdier.
- Omvendt proporsjonalitet gir en buet graf, ikke en rett linje.