5.3 Lineære funksjoner

Rette linjer i hverdagen

Tenk deg at du sparer penger. Du har 200 kr fra før, og hver uke legger du til 50 kr. Etter 1 uke har du 250 kr, etter 2 uker 300 kr, etter 3 uker 350 kr. Ser du mønsteret? For hver uke som går, øker beløpet med nøyaktig 50 kr. Ingen overraskelser, ingen hopp -- bare en jevn, forutsigbar økning.

Hvis du tegner dette i et koordinatsystem med uker på $x$-aksen og kroner på $y$-aksen, får du en perfekt rett linje. Denne typen sammenheng kalles en lineær funksjon, og den er en av de viktigste i hele matematikken.

I dette kapittelet skal vi se på hva lineære funksjoner er, hvordan vi gjenkjenner dem, og hvorfor de er så utrolig nyttige.

Hva er en funksjon?

En funksjon er en regel som tar inn et tall og gir tilbake nøyaktig ett tall. Tallet vi putter inn kalles innverdien ($x$), og tallet vi får ut kalles utverdien ($y$ eller $f(x)$).

Tenk på en automat: du velger et nummer (innverdi), og ut kommer en bestemt vare (utverdi). Funksjonen er regelen som bestemmer hvilken vare du får for hvert nummer.

Vi skriver funksjoner slik:

$$f(x) = \text{en formel med } x$$

For eksempel betyr $f(x) = 3x + 10$ at vi tar $x$, ganger med $3$, og legger til $10$.

La oss prøve med $x = 2$:

$$f(2) = 3 \cdot 2 + 10 = 6 + 10 = 16$$

Og med $x = 5$:

$$f(5) = 3 \cdot 5 + 10 = 15 + 10 = 25$$

En funksjon kan fremstilles på fire måter:
- Formel: $f(x) = 3x + 10$
- Tabell: en verditabell med $x$- og $y$-verdier
- Graf: en kurve i et koordinatsystem
- Tekst: «funksjonen tredobler tallet og legger til 10»

Den lineære funksjonen: $f(x) = ax + b$

En lineær funksjon er en funksjon der grafen er en rett linje. Den skrives alltid på formen:

$$f(x) = ax + b$$

Her er $a$ og $b$ faste tall (konstanter).

- $a$ kalles stigningstallet og forteller hvor bratt linjen er. Det er «hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med $1$».
- $b$ kalles konstantleddet og forteller hvor linjen krysser $y$-aksen (altså verdien av $f(0)$).

La oss gå tilbake til spareeksempelet. Du startet med 200 kr og legger til 50 kr per uke. Beløpet etter $x$ uker er:

$$S(x) = 50x + 200$$

Her er $a = 50$ (du sparer 50 kr per uke) og $b = 200$ (du starter med 200 kr). Setter vi inn $x = 0$:

$$S(0) = 50 \cdot 0 + 200 = 200$$

Etter 10 uker:

$$S(10) = 50 \cdot 10 + 200 = 500 + 200 = 700 \text{ kr}$$

Kjennetegn på en lineær funksjon:
- Grafen er en rett linje
- $y$-verdien endrer seg like mye for hver gang $x$ øker med $1$
- Formelen inneholder $x$ bare i første potens (ikke $x^2$, $x^3$ osv.)

Stigningstallet -- brattheten

Stigningstallet $a$ er kanskje det viktigste tallet i en lineær funksjon. Det forteller oss om linjen stiger, synker eller er vannrett.

- Positivt stigningstall ($a > 0$): linjen stiger fra venstre mot høyre. Jo større $a$, jo brattere.
- Negativt stigningstall ($a < 0$): linjen synker fra venstre mot høyre. Jo mer negativt $a$ er, jo brattere nedover.
- Stigningstall lik null ($a = 0$): linjen er vannrett. $y$-verdien er den samme uansett $x$.

Eksempel: Funksjonen $f(x) = -2x + 8$ har stigningstall $a = -2$. Det betyr at for hvert steg til høyre synker $y$ med $2$. Hvis $x = 0$: $f(0) = 8$. Hvis $x = 1$: $f(1) = 6$. Hvis $x = 2$: $f(2) = 4$.

Du kan beregne stigningstallet mellom to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ med formelen:

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Eksempel: Linjen går gjennom punktene $(1, 3)$ og $(4, 12)$. Da er:

$$a = \frac{12 - 3}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$$

Det betyr at $y$ øker med $3$ for hvert steg $x$ øker med $1$.

Tegne grafen til en lineær funksjon

For å tegne grafen bruker vi en verditabell. La oss tegne $f(x) = 2x - 3$.

Praktisk tips: Du trenger egentlig bare to punkter for å tegne en rett linje. Men bruk gjerne tre -- det tredje punktet fungerer som kontroll. Hvis det ikke ligger på linjen, har du regnet feil.

Et smart triks: Start med punktet der linjen krysser $y$-aksen, altså $(0, b)$. Gå deretter $1$ steg til høyre og $a$ steg opp (eller ned hvis $a$ er negativ). Marker det nye punktet og trekk en linje gjennom begge.

For $f(x) = 2x - 3$: start i $(0, -3)$, gå $1$ til høyre og $2$ opp: du havner i $(1, -1)$. Trekk en linje, og du er ferdig!

Oppsummering

En funksjon gir nøyaktig én utverdi for hver innverdi. En lineær funksjon har formen:

$$f(x) = ax + b$$

- $a$ er stigningstallet -- hvor mye $y$ endrer seg per steg i $x$
- $b$ er konstantleddet -- der linjen krysser $y$-aksen
- Positivt $a$: linjen stiger. Negativt $a$: linjen synker. $a = 0$: vannrett linje.
- Stigningstallet mellom to punkter: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- For å tegne grafen: lag verditabell, plott punkter, trekk en rett linje
- En lineær funksjon kjennetegnes ved at $y$ endrer seg like mye for hvert steg i $x$