4.1 Vinkler

Vinkler i verden rundt oss

Hver gang du åpner en dør, vipper opp lokket på en laptop eller ser på viserne på en klokke, har du med vinkler å gjøre. En vinkel er rett og slett et mål på hvor mye noe «åpner seg» -- altså dreiningen mellom to linjer som møtes i et punkt.

Tenk på en saks: når du åpner den litt, er vinkelen mellom bladene liten. Åpner du den helt opp, blir vinkelen stor. Vinkler er så grunnleggende at de dukker opp overalt -- i arkitektur, sport, navigasjon og selvfølgelig i matematikken.

I dette kapittelet skal vi utforske hva vinkler egentlig er, hvordan vi måler dem, og noen viktige regler som hjelper oss å beregne ukjente vinkler uten å måle.

Hva er en vinkel?

En vinkel dannes der to linjer eller linjestykker møtes i et punkt. Punktet der de møtes kalles toppunktet, og de to linjene kalles vinkelbeina. Vi måler vinkler i grader (symbolet $°$), og en hel omdreining er $360°$.

Noen viktige vinkelmål å kjenne til:

- Rett vinkel = $90°$ (som et hjørne i et rom). Vi markerer den med et lite kvadrat.
- Stump vinkel = mellom $90°$ og $180°$ (mer enn en rett vinkel, men mindre enn en halv omdreining).
- Spiss vinkel = mellom $0°$ og $90°$ (mindre enn en rett vinkel).
- Rett linje = $180°$ (en halv omdreining -- vinkelen er så stor at beina peker i stikk motsatte retninger).

Tenk på klokka: når den er 3:00, danner time- og minuttviseren en vinkel på $90°$. Når den er 6:00, er vinkelen $180°$. Og når den er 12:00, er vinkelen $0°$ (eller $360°$, som er det samme -- en full omdreining).

Vi bruker en gradskive til å måle vinkler. Legg sentrum av gradskiva i toppunktet, la nullstreken ligge langs det ene vinkelbeinet, og les av graden der det andre vinkelbeinet treffer skalaen.

Vinkelsummen i en trekant

Her kommer en av geometriens mest kjente regler: summen av vinklene i en trekant er alltid $180°$. Alltid. Uansett om trekanten er liten eller stor, spiss eller flat.

$$\text{Vinkelsum i trekant:} \quad A + B + C = 180°$$

Du kan faktisk bevise dette selv. Klipp ut en trekant i papir, riv av de tre hjørnene, og legg dem ved siden av hverandre med toppunktene inntil hverandre. Du vil se at de tre vinklene til sammen danner en rett linje -- altså $180°$.

Eksempel: I en trekant er to av vinklene $65°$ og $45°$. Hva er den tredje vinkelen?

$$C = 180° - 65° - 45° = 70°$$

Denne regelen er utrolig nyttig. Kjenner du to vinkler i en trekant, kan du alltid finne den tredje.

Spesialtilfeller:
- I en rettvinklet trekant er én vinkel $90°$, så de to andre summerer seg til $90°$.
- I en likesidet trekant er alle tre sidene like lange. Alle vinklene er da like store: $180° \div 3 = 60°$.
- I en likebeint trekant er to sider like lange, og de to basisvinklene (vinklene ved den tredje siden) er like store.

Vinkelsummen i firkanter og andre mangekanter

Hva med firkanter? En firkant kan alltid deles i to trekanter ved å trekke en diagonal. Siden hver trekant har vinkelsum $180°$, blir vinkelsummen i en firkant:

$$\text{Vinkelsum i firkant:} \quad 2 \times 180° = 360°$$

I et rektangel er alle fire vinklene $90°$: $4 \times 90° = 360°$. Stemmer!

Vi kan utvide dette til alle mangekanter. En femkant kan deles i $3$ trekanter, en sekskant i $4$ trekanter, og så videre. Formelen er:

$$\text{Vinkelsum i } n\text{-kant} = (n - 2) \times 180°$$

der $n$ er antall sider. La oss teste: en trekant har $n = 3$, og $(3 - 2) \times 180° = 1 \times 180° = 180°$. En firkant har $n = 4$: $(4 - 2) \times 180° = 360°$. En femkant har $n = 5$: $(5 - 2) \times 180° = 540°$.

I en regulær (likesidet) mangekant er alle vinklene like store. Hver vinkel i en regulær $n$-kant er:

$$\text{Hver vinkel} = \frac{(n - 2) \times 180°}{n}$$

For en regulær sekskant ($n = 6$): $\displaystyle \frac{(6 - 2) \times 180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120°$ per vinkel.

Toppvinkler og nabovinkler

Når to rette linjer krysser hverandre, dannes fire vinkler. De har spesielle egenskaper som er veldig nyttige.

Toppvinkler er vinklene som står rett overfor hverandre i krysningspunktet. Toppvinkler er alltid like store. Hvis en av vinklene er $70°$, er toppvinkelen også $70°$.

Nabovinkler er vinkler som ligger ved siden av hverandre og deler ett vinkelben. Nabovinkler som til sammen utgjør en rett linje, har sum $180°$. Disse kalles supplementvinkler.

Eksempel: To linjer krysser hverandre. Én av vinklene er $110°$. Hva er de tre andre?

- Toppvinkelen er $110°$ (toppvinkler er like store).
- Nabovinkelen er $180° - 110° = 70°$ (nabovinkler summerer til $180°$).
- Den siste vinkelen er $70°$ (toppvinkelen til nabovinkelen).

Sjekk: $110° + 70° + 110° + 70° = 360°$. Stemmer -- summen rundt et punkt er alltid $360°$.

Disse reglene virker kanskje enkle, men de er utrolig kraftige. Med dem kan du finne ukjente vinkler i kompliserte figurer, bare ved å kjenne noen få vinkler og bruke logikk.

Vinkler ved parallelle linjer

Når en rett linje krysser to parallelle linjer, dannes åtte vinkler. Disse vinklene har spesielle sammenhenger som gjør geometrien elegant.

Samsvarende vinkler (F-vinkler) er vinkler som har samme posisjon ved hvert krysningspunkt. De er alltid like store.

Toppvinkler er like store, som vi allerede vet.

Nabovinkler summerer seg til $180°$.

Resultatet er at det egentlig bare finnes to ulike vinkelstørrelser blant de åtte vinklene: en spiss og en stump, og de summerer seg til $180°$.

Eksempel: En linje krysser to parallelle linjer. Én vinkel er $65°$. Da er alle de spisse vinklene $65°$, og alle de stumpe vinklene $180° - 65° = 115°$.

Parallelle linjer er linjer som aldri møtes -- de har alltid samme avstand. Du ser dem overalt: jernbaneskinner, linjene på en fotballbane, kantene på et ark. Når du vet at to linjer er parallelle, åpner det for å bruke disse vinkelreglene til å finne ukjente vinkler.

Oppsummering

Vinkler måles i grader. Spisse vinkler er under $90°$, rette er $90°$, stumpe er mellom $90°$ og $180°$, og en rett linje er $180°$.

De viktigste reglene:
- Vinkelsummen i en trekant er $180°$
- Vinkelsummen i en $n$-kant er $(n - 2) \times 180°$
- Toppvinkler er like store
- Nabovinkler langs en rett linje summerer seg til $180°$
- Samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store

Med disse reglene kan du finne ukjente vinkler i de fleste figurer -- bare ved å tenke logisk og bruke det du vet.