3.3 Likninger og ulikheter

Hva er det ukjente tallet?

«Jeg tenker på et tall. Hvis jeg dobler det og legger til $3$, får jeg $15$. Hvilket tall tenker jeg på?»

Du har kanskje allerede funnet svaret: $6$. Men hvordan skriver vi dette matematisk? Med en likning:

$$2x + 3 = 15$$

En likning er et utsagn om at to ting er like. Likhetstegnet $=$ er som en vektskål i balanse -- det som er på venstre side veier like mye som det som er på høyre side.

Å løse en likning betyr å finne verdien av $x$ (det ukjente tallet) som gjør at likheten stemmer. I eksempelet over er $x = 6$, fordi $2 \cdot 6 + 3 = 12 + 3 = 15$. Vi sier at $x = 6$ er løsningen av likningen.

Vektskålprinsippet -- grunnregelen

Tenk deg en vektskål i perfekt balanse. Hva skjer hvis du legger til $5$ kg på venstre side? Den vipper! Men hvis du legger til $5$ kg på begge sider, er den fortsatt i balanse.

Dette er grunnprinsippet for å løse likninger:

Du kan gjøre hva du vil med en likning, så lenge du gjør det samme på begge sider.

- Legge til det samme tallet på begge sider
- Trekke fra det samme tallet på begge sider
- Gange begge sider med det samme tallet
- Dele begge sider med det samme tallet (bortsett fra $0$)

Målet er å få $x$ alene på den ene siden. La oss se hvordan:

Eksempel: Løs $x + 7 = 12$

Vi vil ha $x$ alene, så vi trekker fra $7$ på begge sider:
$$x + 7 - 7 = 12 - 7$$
$$x = 5$$

Sjekk: $5 + 7 = 12$ ✓

Lett! Vi «flyttet» $7$-tallet til den andre siden, og det skiftet fortegn fra $+7$ til $-7$.

Likninger med flere steg

De fleste likninger krever mer enn ett steg. Oppskriften er:

1. Flytt alle ledd med $x$ til den ene siden
2. Flytt alle tall (konstantledd) til den andre siden
3. Del med koeffisienten foran $x$

Eksempel 1: $2x + 3 = 15$

Steg 1: Trekk fra $3$ på begge sider: $2x = 15 - 3 = 12$
Steg 2: Del med $2$: $\displaystyle x = \frac{12}{2} = 6$
Sjekk: $2 \cdot 6 + 3 = 12 + 3 = 15$ ✓

Eksempel 2: $5x - 8 = 22$

Steg 1: Legg til $8$: $5x = 22 + 8 = 30$
Steg 2: Del med $5$: $\displaystyle x = \frac{30}{5} = 6$
Sjekk: $5 \cdot 6 - 8 = 30 - 8 = 22$ ✓

Eksempel 3: $4x + 7 = 2x + 15$

Her er det $x$ på begge sider. Vi samler dem:

Steg 1: Trekk fra $2x$ på begge sider: $4x - 2x + 7 = 15$, altså $2x + 7 = 15$
Steg 2: Trekk fra $7$: $2x = 8$
Steg 3: Del med $2$: $x = 4$
Sjekk: VS: $4 \cdot 4 + 7 = 23$. HS: $2 \cdot 4 + 15 = 23$ ✓

Likninger med parenteser

Noen likninger har parenteser. Da må vi multiplisere ut parentesene først, og deretter løse som vanlig.

Eksempel 1: $3(x + 4) = 21$

Steg 1 -- Multipliser ut: $3x + 12 = 21$
Steg 2 -- Trekk fra $12$: $3x = 9$
Steg 3 -- Del med $3$: $x = 3$
Sjekk: $3(3 + 4) = 3 \cdot 7 = 21$ ✓

Eksempel 2: $2(x - 3) = x + 5$

Steg 1 -- Multipliser ut: $2x - 6 = x + 5$
Steg 2 -- Trekk fra $x$: $x - 6 = 5$
Steg 3 -- Legg til $6$: $x = 11$
Sjekk: VS: $2(11 - 3) = 2 \cdot 8 = 16$. HS: $11 + 5 = 16$ ✓

Eksempel 3: $5(x + 1) - 2(x - 3) = 20$

Steg 1 -- Multipliser ut: $5x + 5 - 2x + 6 = 20$
Steg 2 -- Slå sammen like ledd: $3x + 11 = 20$
Steg 3 -- Trekk fra $11$: $3x = 9$
Steg 4 -- Del med $3$: $x = 3$
Sjekk: $5 \cdot 4 - 2 \cdot 0 = 20$ ✓

Husk: Vær spesielt nøye med minustegn foran parenteser! I eksempel 3 gir $-2(x-3)$ oss $-2x + 6$, ikke $-2x - 6$.

Likninger i praksis -- tekstoppgaver

Algebra er spesielt nyttig for å løse praktiske problemer. Oppskriften for tekstoppgaver:

1. Les oppgaven nøye
2. Definer variabelen: «La $x$ være ...»
3. Sett opp likningen
4. Løs likningen
5. Svar med en setning og sjekk at svaret gir mening

Eksempel 1: Emma er $5$ år eldre enn Sara. Til sammen er de $27$ år. Hvor gamle er de?

La $x$ = Saras alder.
Da er Emmas alder $x + 5$.
Likning: $x + (x + 5) = 27$
$2x + 5 = 27$
$2x = 22$
$x = 11$

Sara er $11$ år og Emma er $16$ år. Sjekk: $11 + 16 = 27$ ✓

Eksempel 2: En rektangulær hage har omkrets $36$ meter. Lengden er dobbelt så stor som bredden. Finn lengden og bredden.

La $x$ = bredden.
Da er lengden $2x$.
Omkrets: $2 \cdot 2x + 2 \cdot x = 36$
$4x + 2x = 36$
$6x = 36$
$x = 6$

Bredden er $6$ m og lengden er $12$ m. Sjekk: $2 \cdot 12 + 2 \cdot 6 = 24 + 12 = 36$ m ✓

Oppsummering

En likning er et utsagn om at to uttrykk er like: $\text{VS} = \text{HS}$.

Vektskålprinsippet: Gjør det samme på begge sider for å holde balansen.

Oppskrift for å løse likninger:
1. Multipliser ut eventuelle parenteser
2. Slå sammen like ledd på hver side
3. Flytt $x$-ledd til den ene siden (fortegnet skifter!)
4. Flytt konstantledd til den andre siden
5. Del med koeffisienten foran $x$
6. Sjekk svaret ved å sette inn i den opprinnelige likningen