3.2 Parenteser og regning

Å pakke ut en parentes

Forestill deg at du kjøper $3$ identiske gavesett. Hvert sett inneholder en bok til $x$ kroner og en penn til $25$ kroner. Totalprisen blir:

$$3 \times (x + 25) = 3x + 75$$

Det du nettopp gjorde kalles å multiplisere ut en parentes. Du ganget tallet utenfor ($3$) med hvert ledd inni parentesen ($x$ og $25$). Dette er den distributive loven:

$$a(b + c) = ab + ac$$

Denne regelen er grunnleggende i algebra. Den lar oss fjerne parenteser og omforme uttrykk. Og den fungerer begge veier -- å gå fra $3x + 75$ tilbake til $3(x + 25)$ kalles faktorisering (som vi skal se mer av senere).

Å gange inn i parenteser

La oss se på flere eksempler på å multiplisere ut parenteser:

Eksempel 1: $5(x + 3)$
$$5 \cdot x + 5 \cdot 3 = 5x + 15$$

Eksempel 2: $4(2a - 7)$
$$4 \cdot 2a + 4 \cdot (-7) = 8a - 28$$

Eksempel 3: $-3(x + 4)$
$$(-3) \cdot x + (-3) \cdot 4 = -3x - 12$$

Pass spesielt på når det er et negativt tall foran parentesen! Minus ganger pluss gir minus, og minus ganger minus gir pluss.

Eksempel 4: $-2(3y - 5)$
$$(-2) \cdot 3y + (-2) \cdot (-5) = -6y + 10$$

Eksempel 5: $x(x + 4)$
$$x \cdot x + x \cdot 4 = x^2 + 4x$$

Her ganger vi variabelen $x$ inn i parentesen. Husk at $x \cdot x = x^2$.

Eksempel 6: $3a(2a - b + 1)$
$$3a \cdot 2a + 3a \cdot (-b) + 3a \cdot 1 = 6a^2 - 3ab + 3a$$

Regelen gjelder uansett hvor mange ledd det er i parentesen -- du ganger med hvert eneste ledd.

Pluss og minus foran parenteser

Hva skjer når det står et plusstegn eller minustegn foran en parentes uten noe tall?

Pluss foran parentes -- ingenting endres:
$$+(3x - 5) = 3x - 5$$

Plusstegnet er «usynlig» -- parentesen kan bare fjernes.

Minus foran parentes -- alle fortegn snur:
$$-(3x - 5) = -3x + 5$$

Tenk på det som å gange med $-1$: $-1 \cdot (3x - 5) = -3x + 5$.

Dette er en veldig vanlig feilkilde! La oss se det i sammenheng:

Eksempel 1: $7x + (2x - 3)$
$$= 7x + 2x - 3 = 9x - 3$$

Eksempel 2: $7x - (2x - 3)$
$$= 7x - 2x + 3 = 5x + 3$$

Se forskjellen? I det første eksempelet beholder vi fortegnene. I det andre snur vi fortegnene fordi det er minus foran parentesen: $-2x$ og $+3$.

Eksempel 3: $4a + 3b - (2a - b + 5)$
$$= 4a + 3b - 2a + b - 5 = 2a + 4b - 5$$

Alle tre leddene i parentesen skifter fortegn: $+2a \to -2a$, $-b \to +b$, $+5 \to -5$.

Sammensatte uttrykk med parenteser

Nå som du mestrer de grunnleggende ferdighetene, la oss sette dem sammen i mer sammensatte oppgaver:

Eksempel 1: $3(x + 2) + 2(x - 5)$

Steg 1 -- Multipliser ut begge parentesene:
$$3x + 6 + 2x - 10$$

Steg 2 -- Slå sammen like ledd:
$$5x - 4$$

Eksempel 2: $4(2a - 1) - 3(a + 2)$

Steg 1 -- Multipliser ut:
$$8a - 4 - 3a - 6$$

Steg 2 -- Slå sammen like ledd:
$$5a - 10$$

Eksempel 3: $2x(x + 3) - x(x - 1)$

Steg 1 -- Multipliser ut:
$$2x^2 + 6x - x^2 + x$$

Steg 2 -- Slå sammen like ledd:
$$x^2 + 7x$$

Oppskriften er alltid den samme:
1. Multipliser ut alle parenteser
2. Slå sammen like ledd

Sjekk alltid svaret ditt ved å sette inn et tall. Hvis $x = 1$: Originaluttrykk: $2 \cdot 1 \cdot (1+3) - 1 \cdot (1-1) = 8 - 0 = 8$. Forenklet: $1 + 7 = 8$. Det stemmer!

Faktorisering -- å sette utenfor parentes

Faktorisering er det motsatte av å multiplisere ut. Vi leter etter en felles faktor i alle leddene og «trekker den ut» foran en parentes.

Eksempel 1: $6x + 9$
Felles faktor er $3$: $6x + 9 = 3(2x + 3)$

Eksempel 2: $4x^2 - 10x$
Felles faktor er $2x$: $4x^2 - 10x = 2x(2x - 5)$

Eksempel 3: $15ab + 20a$
Felles faktor er $5a$: $15ab + 20a = 5a(3b + 4)$

Slik gjør du det:
1. Finn det største tallet som deler alle koeffisientene
2. Finn den høyeste potensen av variablene som finnes i alle ledd
3. Del hvert ledd med den felles faktoren -- resultatet skrives i parentesen

Du kan alltid sjekke ved å multiplisere ut igjen: $3(2x + 3) = 6x + 9$. Stemmer det med originalen? Da er faktoriseringen riktig!

Oppsummering

Multiplisere ut parenteser (distributiv lov):
$$a(b + c) = ab + ac$$

Fortegn foran parentes:
- $+(\ldots)$: beholder alle fortegn
- $-(\ldots)$: snur alle fortegn

Sammensatte uttrykk:
1. Multipliser ut alle parenteser
2. Slå sammen like ledd

Faktorisering (det motsatte):
- Finn felles faktor og sett den utenfor parentes
- Sjekk ved å multiplisere ut igjen