5.5 Verditabeller og grafer

Fra tall til bilde

I forrige kapittel lærte vi at en funksjon er en regel som gir noyaktig en utgangsverdi for hver inngangsverdi. Men en formel som $f(x) = 2x + 1$ er ganske abstrakt. Hadde det ikke vært fint a se funksjonen?

Det er nettopp det en graf gjor. Den gjor en funksjon om til et bilde -- en kurve eller linje i et koordinatsystem. Med en graf kan du med ett blikk se hvordan funksjonen oppforer seg: gar den oppover eller nedover? Raskt eller sakte? Nar er verdien storst?

Men for vi kan tegne grafen, trenger vi a lage en verditabell -- en organisert oversikt over inngangsverdier og de tilhorende utgangsverdiene.

Lage en verditabell

En verditabell er rett og slett en tabell der vi regner ut funksjonsverdier for utvalgte $x$-verdier. La oss lage en for $f(x) = 2x + 1$:

Koordinatsystemet

For a tegne grafen trenger vi et koordinatsystem. Det bestar av to tallinjer som star vinkelrett pa hverandre:

- $x$-aksen (den vannrette): viser inngangsverdiene
- $y$-aksen (den loddrette): viser utgangsverdiene

Der aksene krysser hverandre er origo $(0, 0)$.

Hvert punkt i koordinatsystemet beskrives med to tall: $(x, y)$. Det forste tallet forteller hvor langt til hoyre (eller venstre) du gar, og det andre tallet forteller hvor langt opp (eller ned) du gar.

Eksempel: Punktet $(3, 5)$ finner du ved a ga 3 enheter til hoyre langs $x$-aksen og deretter 5 enheter opp.

Eksempel: Punktet $(-2, 4)$ finner du ved a ga 2 enheter til venstre og 4 enheter opp.

Eksempel: Punktet $(1, -3)$ finner du ved a ga 1 enhet til hoyre og 3 enheter ned.

Plotte punkter og tegne grafen

Na er vi klare til a tegne! La oss ta funksjonen $f(x) = 2x + 1$ med verditabellen fra tidligere. Vi plotter punktene:

$$(-2, -3), \quad (-1, -1), \quad (0, 1), \quad (1, 3), \quad (2, 5), \quad (3, 7)$$

Nar vi plotter disse i koordinatsystemet og trekker en linje gjennom dem, ser vi at alle punktene ligger pa en rett linje. Det er ikke tilfeldig -- funksjoner pa formen $f(x) = ax + b$ gir alltid rette linjer. Disse kalles lineære funksjoner.

Men ikke alle funksjoner gir rette linjer. La oss pruv $g(x) = x^2$:

Lese av informasjon fra grafer

En graf er ikke bare pen a se pa -- den er full av informasjon. Her er noen ting du kan lese av:

1. Finne funksjonsverdien for en gitt $x$-verdi
Ga loddrett opp fra $x$-verdien pa $x$-aksen til du treffer grafen. Les av $y$-verdien der.

2. Finne $x$-verdien for en gitt $y$-verdi
Ga vannrett fra $y$-verdien pa $y$-aksen til du treffer grafen. Les av $x$-verdien der. (Merk: det kan finnes flere $x$-verdier!)

3. Finne nullpunktet
Nullpunktet er der grafen krysser $x$-aksen, altså der $f(x) = 0$. For $f(x) = 2x + 1$ er nullpunktet der $2x + 1 = 0$, altså $x = -0{,}5$.

4. Se om funksjonen oker eller minker
Hvis grafen gar oppover fra venstre mot hoyre, oker funksjonen. Gar den nedover, minker den.

Eksempel: En graf viser temperaturen gjennom et dogn. Ved a lese av grafen kan du se nar det var kaldest (bunnpunktet), nar det var varmest (toppunktet), og hvor raskt temperaturen endret seg (hvor bratt kurven er).

Oppsummering

Verditabeller og grafer gjor funksjoner synlige:

- Verditabell: Velg flere $x$-verdier, regn ut $f(x)$ for hver, og organiser i en tabell. Hvert par $(x, f(x))$ er et punkt.
- Koordinatsystemet: To akser ($x$ vannrett, $y$ loddrett) som moter i origo $(0, 0)$.
- Plotte: Merk av punktene fra verditabellen og trekk en jevn kurve gjennom dem.
- Lineære funksjoner ($f(x) = ax + b$) gir rette linjer.
- Kvadratiske funksjoner ($g(x) = x^2$) gir parabler.
- Avlesning: Fra grafen kan du finne funksjonsverdier, nullpunkter (der grafen krysser $x$-aksen) og se om funksjonen oker eller minker.
- Nullpunkt: $x$-verdien der $f(x) = 0$ -- grafisk: der grafen krysser $x$-aksen.

I neste kapittel skal vi se at funksjoner kan vises pa enda flere mater -- og lære a oversette mellom dem.