5.1 Hva er en funksjon?

Maskinen som forvandler tall

Forestill deg en maskin som har en inngang og en utgang. Du putter inn et tall i inngangen, maskinen gjor noe med det, og ut kommer et nytt tall. Hver gang du putter inn det samme tallet, far du det samme svaret tilbake.

Denne maskinen er det matematikere kaller en funksjon.

Funksjoner finnes overalt i hverdagen, selv om vi kanskje ikke tenker over det:
- Du legger inn en vare i kassen pa butikken, og ut kommer prisen
- Du skriver inn en temperatur i Celsius, og far den tilbake i Fahrenheit
- Du taster inn antall timer du jobber, og far ut lonnen din

I alle disse tilfellene har du en inngangsverdi (det du putter inn) og en utgangsverdi (det du far tilbake). Og det viktigste: for samme inngangsverdi far du alltid samme utgangsverdi.

Inngangsverdi og utgangsverdi

La oss tenke pa et konkret eksempel. Du jobber deltid og tjener 120 kr per time. Da kan vi sette opp en sammenheng:

Men hva gjor dette til en funksjon? Jo, det at hver inngangsverdi gir noyaktig en utgangsverdi. Jobber du 3 timer, far du alltid 360 kr -- ikke noen ganger 360 og andre ganger 400. Det er denne entydigheten som definerer en funksjon.

Funksjonsmaskin-modellen

En nyttig mate a tenke pa funksjoner er som en maskin:

1. Du putter inn en verdi (inngangsverdien $x$)
2. Maskinen gjor noe med den (f.eks. ganger med 2 og legger til 3)
3. Ut kommer en ny verdi (utgangsverdien $y$)

La oss si at maskinens regel er: «gang med 2 og legg til 3». Da kan vi skrive:

$$y = 2x + 3$$

Hva skjer nar vi putter inn ulike verdier?

- Putter inn $x = 1$: $y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
- Putter inn $x = 4$: $y = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
- Putter inn $x = 0$: $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$
- Putter inn $x = -2$: $y = 2 \cdot (-2) + 3 = -1$

Hver inngangsverdi gir noyaktig en utgangsverdi. Det er en funksjon!

Vi kan ogsa tenke baklengs: «Hvilken inngangsverdi gir utgangsverdien 9?» Da loser vi likningen:

$$2x + 3 = 9 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$

Inngangsverdien 3 gir utgangsverdien 9.

f(x)-notasjonen

I matematikk har vi en spesiell mate a skrive funksjoner pa. I stedet for a skrive $y = 2x + 3$, kan vi skrive:

$$f(x) = 2x + 3$$

Her er $f$ navnet pa funksjonen, og $x$ er inngangsverdien. Uttrykket $f(x)$ leses som «$f$ av $x$» og betyr «den verdien funksjonen $f$ gir nar vi setter inn $x$.»

Fordelen med denne skrivematen er at vi lett kan uttrykke bestemte funksjonsverdier:

- $f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$ -- «$f$ av 1 er 5»
- $f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$ -- «$f$ av 4 er 11»
- $f(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3$ -- «$f$ av 0 er 3»

Vi trenger ikke alltid bruke bokstaven $f$. Vi kan ogsa kalle funksjonen $g$, $h$ eller noe annet:

$$g(x) = x^2 + 1$$

Da er $g(3) = 3^2 + 1 = 10$ og $g(-2) = (-2)^2 + 1 = 5$.

Legg merke til noe viktig med $g$: bade $g(2)$ og $g(-2)$ gir 5. Det er helt greit -- en funksjon kan gi samme utgangsverdi for ulike inngangsverdier. Det som ikke er lov, er at en inngangsverdi gir flere utgangsverdier.

Funksjoner i praktiske situasjoner

Funksjoner dukker opp i mange praktiske sammenhenger. La oss se pa noen eksempler.

Eksempel 1: Drosjetur
En drosje tar 50 kr i oppstartsavgift og 15 kr per kilometer. Kostnaden som funksjon av antall kilometer $x$ er:

$$f(x) = 15x + 50$$

En tur pa 8 km koster: $f(8) = 15 \cdot 8 + 50 = 170$ kr.

Eksempel 2: Temperaturomregning
Sammenhengen mellom Celsius ($C$) og Fahrenheit ($F$) er:

$$F(C) = 1{,}8C + 32$$

Normal kroppstemperatur er $37°C$: $F(37) = 1{,}8 \cdot 37 + 32 = 66{,}6 + 32 = 98{,}6°F$.

Eksempel 3: Areal av et kvadrat
Arealet av et kvadrat med sidelengde $s$ er:

$$A(s) = s^2$$

Her er inngangsverdien sidelengden og utgangsverdien arealet. For et kvadrat med side 6 cm: $A(6) = 36 \text{ cm}^2$.

Legg merke til at alle disse eksemplene har noe til felles: en tydelig inngangsverdi, en klar regel, og noyaktig en utgangsverdi for hver inngangsverdi. Det er funksjoner i praksis.

Oppsummering

En funksjon er en regel som til hver inngangsverdi gir noyaktig en utgangsverdi:

- Inngangsverdi ($x$): det vi putter inn
- Utgangsverdi ($y$ eller $f(x)$): det vi far ut
- Funksjonsmaskin: en nyttig modell -- inn med $x$, ut med $f(x)$
- f(x)-notasjon: $f(x) = 2x + 3$ betyr «sett inn $x$, gang med 2 og legg til 3»
- Funksjonsverdi: $f(5) = 13$ betyr «nar $x = 5$, er utgangsverdien 13»
- Kravet: En inngangsverdi ma gi noyaktig en utgangsverdi. Ulike inngangsverdier kan derimot godt gi samme utgangsverdi.

Funksjoner beskriver sammenhenger vi finner overalt -- fra drosjeturer til temperaturomregning til geometriske formler. I neste kapittel skal vi se pa to kraftige mater a vise funksjoner pa: verditabeller og grafer.