1.5 Potenser

Når ganging gjentar seg

Tenk deg at du legger et papirark dobbelt. Nå har du $2$ lag. Legg det dobbelt igjen -- $4$ lag. Enda en gang -- $8$ lag. For hvert brett dobles antallet:

$$2, \quad 2 \times 2, \quad 2 \times 2 \times 2, \quad 2 \times 2 \times 2 \times 2, \quad \ldots$$

Det blir fort mange gangetegn! Heldigvis har matematikere en elegant forkortelse for gjentatt multiplikasjon: potenser. I stedet for å skrive $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$, skriver vi:

$$2^5 = 32$$

Det lille tallet oppe til høyre forteller hvor mange ganger vi ganger. Etter $10$ brett har papiret $2^{10} = 1024$ lag. Etter $20$ brett: $2^{20} = 1\,048\,576$ lag. Potenser vokser utrolig fort!

Grunntall og eksponent

Når vi skriver $a^n$, har uttrykket to deler:
- $a$ kalles grunntallet (det tallet vi ganger)
- $n$ kalles eksponenten (hvor mange ganger vi ganger)

$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ faktorer}}$$

La oss se på noen eksempler:
- $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
- $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
- $10^2 = 10 \times 10 = 100$ (vi sier «ti i andre» eller «ti opphøyd i to»)
- $10^6 = 1\,000\,000$ (en million!)

Spesialtilfeller å huske:
- $a^1 = a$ -- et tall opphøyd i $1$ er seg selv
- $a^0 = 1$ for alle $a \neq 0$ -- et tall opphøyd i $0$ er alltid $1$
- $1^n = 1$ -- $1$ opphøyd i hva som helst er $1$

Hvorfor er $a^0 = 1$? Tenk slik: $\displaystyle \frac{a^3}{a^3} = 1$ (alt delt på seg selv er $1$). Men med potensregler: $\displaystyle \frac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0$. Altså må $a^0 = 1$.

Potenser med negative grunntall

Pass på -- det er en viktig forskjell mellom $(-3)^2$ og $-3^2$!

$(-3)^2$: Hele $(-3)$ opphøyes:
$$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$$
Minus ganger minus gir pluss!

$-3^2$: Bare $3$ opphøyes, og minustegnet settes foran etterpå:
$$-3^2 = -(3^2) = -(9) = -9$$

Generell regel for negative grunntall:
- Partall-eksponent $\rightarrow$ positivt svar: $(-2)^4 = 16$
- Oddetall-eksponent $\rightarrow$ negativt svar: $(-2)^3 = -8$

Hvorfor? Fordi et partall par av minustegn «slår hverandre ut»:
$$(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = \underbrace{(+4)}_{\text{par 1}} \times \underbrace{(+4)}_{\text{par 2}} = 16$$

Men med et oddetall gjenstår ett minustegn:
$$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = (+4) \times (-2) = -8$$

De viktigste potensreglene

Potenser følger noen elegante regler som gjør det lett å forenkle uttrykk:

Regel 1 -- Multiplikasjon med samme grunntall:
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
Eksempel: $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Logikken: $\underbrace{2 \times 2 \times 2}_{3 \text{ stk}} \times \underbrace{2 \times 2 \times 2 \times 2}_{4 \text{ stk}} = \underbrace{2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{7 \text{ stk}}$

Regel 2 -- Divisjon med samme grunntall:
$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$
Eksempel: $5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625$

Regel 3 -- Potens av potens:
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
Eksempel: $(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729$

Regel 4 -- Potens av produkt:
$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$
Eksempel: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$

Viktig: Regel 1 og 2 gjelder bare når grunntallene er like. Du kan ikke forenkle $2^3 \times 3^4$ med disse reglene!

Tier-potenser og store tall

Potenser med grunntall $10$ er spesielt nyttige fordi de tilsvarer antall nuller:

$$10^1 = 10, \quad 10^2 = 100, \quad 10^3 = 1\,000, \quad 10^6 = 1\,000\,000$$

Dette gjør det enkelt å skrive store tall:
- Jordens omløpsbane rundt solen: ca. $9{,}4 \times 10^{8}$ km
- Antall sand-korn på jorden: ca. $7{,}5 \times 10^{18}$
- Antall stjerner i universet: ca. $10^{24}$

Å skrive tall med tier-potenser kalles titallsform (eller standardform). Formen er:

$$a \times 10^n \quad \text{der } 1 \leq a < 10$$

For eksempel: $45\,000 = 4{,}5 \times 10^4$ og $0{,}003 = 3 \times 10^{-3}$.

Tier-potenser gjør det lett å sammenligne store tall. Hva er størst: $3 \times 10^7$ eller $9 \times 10^6$? Svaret er $3 \times 10^7 = 30\,000\,000$, mens $9 \times 10^6 = 9\,000\,000$. Eksponenten er viktigst!

Oppsummering

Potenser er en forkortelse for gjentatt multiplikasjon: $a^n$ betyr $a$ ganget med seg selv $n$ ganger.

Spesialtilfeller: $a^1 = a$, $\quad a^0 = 1$ (for $a \neq 0$)

Negative grunntall:
- Partall-eksponent gir positivt svar: $(-3)^2 = 9$
- Oddetall-eksponent gir negativt svar: $(-3)^3 = -27$
- $(-a)^n \neq -a^n$ når $n$ er partall!

Potensregler: