1.2 Brøk

Å dele rettferdig

Tenk deg at du og to venner skal dele en pizza. Pizzaen er delt i $8$ stykker, og dere er $3$ personer. Hvor mye pizza får hver?

Det er her brøk kommer inn. Brøk handler om å dele ting i like store deler. Når vi skriver $\displaystyle \frac{8}{3}$, sier vi «åtte delt på tre». Hver person får $\displaystyle \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ stykker.

Men brøk er mye mer enn bare deling. Brøk er en helt egen type tall -- et tall som uttrykker en del av en helhet. Brøken $\displaystyle \frac{3}{4}$ betyr «3 av 4 like store deler». Toppstallet kalles telleren (den teller antall deler vi har), og bunnstallet kalles nevneren (den nevner hvor mange deler helheten er delt i).

Utvidelse og forkorting -- brøkens superkrefter

En viktig egenskap ved brøk er at samme verdi kan skrives på mange måter:

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{50}{100}$$

Alle disse brøkene er likeverdige -- de representerer nøyaktig samme mengde. En halv pizza er det samme om du deler den i $2$, $4$, $6$ eller $8$ stykker.

Utvide en brøk betyr å gange teller og nevner med samme tall:
$$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{12}{20}$$

Forkorte en brøk betyr å dele teller og nevner med samme tall:
$$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$$

Å forkorte er som å rydde -- vi fjerner unødvendige detaljer og finner den enkleste formen. En brøk er fullt forkortet når teller og nevner ikke har noen felles faktor annet enn $1$.

For eksempel: $\displaystyle \frac{24}{36}$. Hva er den største felles faktoren? $12$! Så: $\displaystyle \frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$.

Addisjon og subtraksjon av brøk

For å legge sammen eller trekke fra brøker, må de ha lik nevner. Tenk deg at du skal legge sammen $\displaystyle \frac{1}{4}$ pizza og $\displaystyle \frac{1}{3}$ pizza -- du kan ikke bare si «$2$ stykker», for stykkene er ulike store!

Lik nevner -- bare legg sammen tellerne:
$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}$$

Ulik nevner -- finn fellesnevner først:

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$$

Vi trenger en fellesnevner. Den minste fellesnevneren er det minste tallet begge nevnere går opp i, altså $12$:

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} + \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$$

Et større eksempel:

$$\frac{5}{6} - \frac{2}{9}$$

Fellesnevner: $18$ (minste tall delelig med både $6$ og $9$)

$$\frac{5 \times 3}{6 \times 3} - \frac{2 \times 2}{9 \times 2} = \frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{11}{18}$$

Tips: Du kan alltid finne en fellesnevner ved å gange de to nevnerne, men det er ofte lurere å finne den minste fellesnevneren for å unngå store tall.

Multiplikasjon og divisjon av brøk

Multiplikasjon av brøk er overraskende enkelt -- bare gang teller med teller og nevner med nevner:

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

For eksempel: $\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$

Hva betyr dette? $\displaystyle \frac{2}{3}$ av $\displaystyle \frac{4}{5}$ betyr «to tredjedeler av fire femtedeler». Forestill deg en sjokoladeplate: ta $\displaystyle \frac{4}{5}$ av den, og spis deretter $\displaystyle \frac{2}{3}$ av det du tok. Da har du spist $\displaystyle \frac{8}{15}$ av hele plata.

Tips: Du kan forkorte på tvers før du ganger for å unngå store tall:
$$\frac{3}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{8}_{2}} \times \frac{\cancel{4}^{1}}{\cancel{9}_{3}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Divisjon med brøk bruker et smart triks: å dele med en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken:

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

For eksempel: $\displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$

Hvorfor? Tenk deg at du har $\displaystyle \frac{3}{4}$ liter saft og skal fylle glass som rommer $\displaystyle \frac{2}{5}$ liter. «Hvor mange glass?» er et delestykke: $\displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$ glass.

Oppsummering

Brøk $\displaystyle \frac{a}{b}$ betyr «$a$ av $b$ like store deler». $a$ er telleren, $b$ er nevneren.

Utvidelse og forkorting:
- Utvide: gang teller og nevner med samme tall
- Forkorte: del teller og nevner med samme tall

De fire regneartene med brøk: