4.4 Areal og volum

Rommet som ikke var et rektangel

Familien din skal legge nytt gulv i stua, og du får jobben med å regne ut hvor mange kvadratmeter gulv dere må kjøpe. Du henter målebåndet — men så ser du det: Stua er ikke et pent rektangel. Den er L-formet, med en krok ved kjøkkenet.

Ingen formel i verden gir deg arealet av en L-form direkte. Men her kommer dagens store triks: del figuren opp. En L-form er egentlig bare to rektangler som står inntil hverandre! Regn ut hvert rektangel for seg, legg sammen, og du har svaret.

Slik er det med de fleste figurer i virkeligheten: hus, hager, fotballbaner med halvsirkler — de er sammensatte figurer, bygget av enkle deler vi kan formlene for. I denne fortellingen pusser vi først opp formelsamlingen, deretter løser vi sammensatte figurer, og til slutt forlater vi flate gulv og går ut i rommet — til sylinderen og dens volum.

Formelsamlingen og oppdelingstrikset

Først verktøykassen. Rektangelet har areal $A = l \cdot b$ — lengde ganger bredde. Trekanten har $\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$ — grunnlinje ganger høyde, delt på to, fordi en trekant er et halvt rektangel. Parallellogrammet har $A = g \cdot h$. Trapeset, firkanten med to parallelle sider $a$ og $b$, har $\displaystyle A = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$ — gjennomsnittet av de to parallelle sidene ganger høyden. Og sirkelen har $A = \pi r^2$, der $\pi \approx 3{,}14$ og $r$ er radius.

Nå til stua. Den L-formede figuren kan deles i to rektangler: ett på 8 m × 3 m og ett på 4 m × 5 m. Rektangel 1: $8 \cdot 3 = 24$ m². Rektangel 2: $4 \cdot 5 = 20$ m². Til sammen: $24 + 20 = 44$ m² gulv. Oppdraget løst!

Oppskriften er alltid den samme: tegn hjelpelinjer som deler figuren i kjente deler, regn ut hver del, og legg sammen. Og noen ganger er det smartere å gå motsatt vei: har figuren et hull — som en plen med et basseng i — regner du ut hele arealet og trekker fra hullet. Plenen på 10 m × 8 m med et basseng på 4 m × 3 m har gressareal $80 - 12 = 68$ m². Pluss for deler, minus for hull — det er hele kunsten.

Ut i rommet — sylinderen

Til nå har vi målt flater. Men brusbokser, vannrør og lys er ikke flate — de er sylindere: 3D-figurer med sirkel i bunn og topp og rett vegg imellom. Hvor mye rommer en slik figur? Det er spørsmålet om volum, som måles i kubikkcentimeter (cm³) eller liter.

Tankegangen er vakker: en sylinder er som en stabel med like sirkler. Arealet av bunnsirkelen er $\pi r^2$, og så «stabler» vi den oppover i høyden $h$. Volumformelen blir derfor $V = \pi r^2 \cdot h$ — grunnflate ganger høyde.

La oss regne på et eksempel: en sylinder med radius 5 cm og høyde 10 cm, med $\pi \approx 3{,}14$. Volumet blir $V = 3{,}14 \cdot 5^2 \cdot 10 = 3{,}14 \cdot 25 \cdot 10 = 785$ cm³. Siden 1 liter er 1000 cm³, rommer den i underkant av åtte desiliter.

To feller lurer her. Den første: formelen bruker radius, ikke diameter. Får du oppgitt at boksen er 10 cm bred, er radiusen 5. Den andre: $r^2$ betyr $r \cdot r$ — kvadrer radiusen før du ganger med $\pi$.

Skal du i stedet vite hvor mye materiale som trengs for å lage sylinderen, regner du overflaten: to sirkler (topp og bunn) pluss den utbrettede veggen, som er et rektangel: $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$. Volum er det som får plass inni; overflate er det du kan ta på utenpå.

Del opp, legg sammen, stable i høyden

Fortellingen begynte med en L-formet stue som ingen enkelt formel kunne måle — og trikset som løste alt: del figuren opp i kjente deler, regn ut hver del, og legg sammen. Med hull i figuren går du motsatt vei og trekker fra. Stua endte på $24 + 20 = 44$ kvadratmeter.

Formelsamlingen din er nå komplett for de viktigste flatene: rektangel $A = l \cdot b$, trekant $\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$, parallellogram $A = g \cdot h$, trapes $\displaystyle A = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$ og sirkel $A = \pi r^2$.

Så reiste vi oss fra gulvet og ut i rommet: sylinderen er en stabel av sirkler, og volumet er grunnflate ganger høyde, $V = \pi r^2 \cdot h$ — som ga 785 cm³ for sylinderen med radius 5 og høyde 10. Du husker fellene: bruk radius (halve diameteren), kvadrer den før du ganger, og 1 liter er 1000 cm³. Og trenger du materialet utenpå, er overflaten $O = 2\pi r^2 + 2\pi rh$.

Fra gulv til brusbokser: verden er full av sammensatte figurer, og nå har du verktøyet til å måle dem alle.