4.3 Pytagoras - introduksjon

Stigen mot veggen

En stige står lent mot en husvegg. Foten av stigen står 3 meter fra veggen, og toppen når 4 meter opp. Hvor lang er selve stigen? Du kan ikke måle den uten å klatre — men en gresk matematiker som levde for over 2500 år siden, kan gi deg svaret uten målebånd.

Han het Pytagoras, og setningen som bærer navnet hans, er en av de mest berømte i hele matematikken. Den handler om rettvinklede trekanter — trekanter med én vinkel på nøyaktig $90°$. Stigen, veggen og bakken danner akkurat en slik trekant: veggen står vinkelrett på bakken, og stigen er den skrå siden.

Setningen avslører en skjult sammenheng mellom de tre sidene i enhver rettvinklet trekant. Kjenner du to av sidene, kan du alltid regne ut den tredje. I denne fortellingen lærer du hemmeligheten — og finner ut nøyaktig hvor lang stigen er.

Kateter, hypotenus og den berømte formelen

Først litt navnelære. I en rettvinklet trekant har sidene egne navn. De to sidene som danner den rette vinkelen, kalles kateter — i stigeeksempelet er det bakken (3 m) og veggen (4 m). Den tredje siden, den som ligger overfor den rette vinkelen, kalles hypotenusen. Det er alltid den lengste siden — stigen selv.

Pytagoras' setning sier: hvis katetene heter $a$ og $b$ og hypotenusen heter $c$, så er $a^2 + b^2 = c^2$. Med ord: kvadratet av den ene kateten pluss kvadratet av den andre er nøyaktig lik kvadratet av hypotenusen. Tegner du et kvadrat på hver av trekantens sider, dekker de to små kvadratene til sammen akkurat like mye som det store!

Nå kan vi løse stigegåten. Katetene er 3 og 4, så $c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Hypotenusen i andre er 25 — men vi vil ha selve hypotenusen. Da spør vi: hvilket tall ganget med seg selv gir 25? Det er kvadratroten: $c = \sqrt{25} = 5$. Stigen er 5 meter lang.

Trekanten med sidene 3, 4 og 5 er så kjent at den har eget navn: et pytagoreisk trippel. Andre kjente tripler er 5-12-13 og 8-15-17 — hele tall som passer perfekt i formelen. Men husk den viktigste advarselen: setningen gjelder bare for rettvinklede trekanter. Ingen rett vinkel, ingen Pytagoras.

Å finne en katet — formelen baklengs

Hva om det er en av de korte sidene som er ukjent? Tenk deg en ny situasjon: du vet at stigen (hypotenusen) er 13 meter, og at foten står 5 meter fra veggen. Hvor høyt på veggen når stigen?

Vi bruker samme formel, men løser den baklengs. Sett inn det vi vet i $a^2 + b^2 = c^2$: $5^2 + b^2 = 13^2$, altså $25 + b^2 = 169$. Nå bruker vi likningskunnskapene fra algebrakapittelet: trekk 25 fra begge sider, og du får $b^2 = 169 - 25 = 144$. Til slutt kvadratroten: $b = \sqrt{144} = 12$. Stigen når 12 meter opp — og du har kanskje gjenkjent trippelet 5-12-13!

Mønsteret er altså: skal du finne hypotenusen, legger du sammen kvadratene: $c^2 = a^2 + b^2$. Skal du finne en katet, trekker du fra: $a^2 = c^2 - b^2$. Pluss på vei opp til den lengste siden, minus på vei ned til en kort.

En lur sjekk til slutt: hypotenusen skal alltid være det største tallet. Hvis kateten din blir lengre enn hypotenusen, har du plusset der du skulle minuset. Matematikken sier ifra — hvis du husker å lytte.

Trekantens skjulte sammenheng

Fortellingen begynte med en stige mot en vegg, og en 2500 år gammel hemmelighet løste gåten: i enhver rettvinklet trekant gjelder $a^2 + b^2 = c^2$, der $a$ og $b$ er katetene — sidene som danner den rette vinkelen — og $c$ er hypotenusen, den lengste siden, som alltid ligger overfor den rette vinkelen.

Du kan nå regne begge veier. Mot hypotenusen: legg sammen kvadratene og ta kvadratroten, slik at kateter på 3 og 4 gir $c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Mot en katet: trekk fra i stedet, slik at hypotenus 13 og katet 5 gir $b = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Underveis møtte du de pytagoreiske triplene — 3-4-5, 5-12-13 og 8-15-17 — tallfamilier som passer perfekt i formelen, og som dukker opp igjen og igjen i oppgaver. Og du fikk to sjekkpunkter: setningen gjelder bare rettvinklede trekanter, og hypotenusen skal alltid være lengst.

Snekkere, arkitekter og navigatører bruker denne setningen hver eneste dag. Nå gjør du det også.