4.1 Vinkler i trekanter

Eksperimentet med papirtrekanten

Prøv dette: tegn en trekant på et ark — hvilken som helst, stor eller liten, spiss eller butt. Klipp den ut, og riv av de tre hjørnene. Legg så de tre hjørnebitene inntil hverandre, spiss mot spiss, langs kanten av en linjal.

Noe magisk skjer: de tre vinklene fyller nøyaktig en halvsirkel — en rett linje. Prøver du med en helt annen trekant, skjer det samme. Hver gang!

Dette er en av geometriens mest berømte sannheter: summen av de tre vinklene i en trekant er alltid $180°$. Vi skriver det $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$, og det gjelder alle trekanter — likesidede, likebeinte, rettvinklede og de skjeveste du klarer å tegne.

I denne fortellingen skal vi bruke denne regelen som et detektivverktøy: kjenner du to vinkler i en trekant, kan du alltid avsløre den tredje. Og vi skal sortere trekantene i familier etter vinklene deres.

Detektivarbeid med 180 grader

Regelen om vinkelsummen gjør deg til vinkeldetektiv. Tenk deg at du kjenner to av vinklene i en trekant — for eksempel $65°$ og $50°$ — og skal finne den tredje. Du vet at alle tre til sammen blir $180°$, så du setter opp et lite regnestykke: $65° + 50° + x = 180°$.

De to kjente vinklene utgjør $115°$ til sammen. Da må den siste være resten: $x = 180° - 115° = 65°$. Tredje vinkel funnet — uten gradskive!

Regelen blir ekstra kraftig i spesielle trekanter. I en likesidet trekant er alle tre vinklene like store, og siden de skal dele $180°$ likt, blir hver av dem $180° \div 3 = 60°$. Alltid.

I en likebeint trekant, der to sider er like lange, er de to vinklene ved grunnlinjen like store. Vet du at toppvinkelen er $40°$, vet du at de to like vinklene må dele resten: $180° - 40° = 140°$, altså $70°$ på hver.

Og i en rettvinklet trekant, der én vinkel er $90°$, må de to spisse vinklene dele de resterende $90°$ mellom seg. Er den ene $30°$, er den andre $60°$ — det går aldri opp på noen annen måte.

Trekantfamiliene

Trekanter kan sorteres i tre familier etter vinklene sine, og navnene sier akkurat det de betyr.

Den spissvinklede trekanten har alle tre vinklene under $90°$ — alle hjørnene er «spisse». En likesidet trekant med sine tre $60°$-vinkler hører hjemme her.

Den rettvinklede trekanten har én vinkel på nøyaktig $90°$ — en rett vinkel, som hjørnet på et ark. Slike trekanter er superstjerner i matematikken; du møter dem igjen i kapittelet om Pytagoras.

Den stumpvinklede trekanten har én vinkel som er over $90°$ — en «butt» eller stump vinkel. Trekanten ser litt utflytende ut, som om den har lent seg bakover.

Her er et lurt spørsmål å gruble på: kan en trekant ha to rette vinkler? Prøv å regne på det. To vinkler på $90°$ bruker opp hele $180°$ alene — da er det null grader igjen til den tredje vinkelen, og en vinkel på $0°$ finnes ikke i en ekte trekant. Derfor kan en trekant ha maks én rett eller stump vinkel, og det er alltid den største vinkelen som bestemmer hvilken familie trekanten tilhører. Sjekk den største vinkelen: under $90°$ gir spissvinklet, nøyaktig $90°$ gir rettvinklet, over $90°$ gir stumpvinklet.

Alltid 180 grader

Fortellingen startet med tre avrevne papirhjørner som la seg pent langs en rett linje — beviset du kunne holde i hendene på at vinkelsummen i en trekant alltid er $180°$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$, uansett hvordan trekanten ser ut.

Den regelen gjorde deg til vinkeldetektiv. Kjenner du to vinkler, finner du den tredje ved å trekke fra: $180° - 65° - 50° = 65°$. I en likesidet trekant er alle vinklene $60°$, i en likebeint er grunnvinklene like store, og i en rettvinklet trekant deler de to spisse vinklene $90°$ mellom seg.

Du har også møtt de tre trekantfamiliene: spissvinklede med alle vinkler under $90°$, rettvinklede med nøyaktig én vinkel på $90°$, og stumpvinklede med én vinkel over $90°$. Og du vet hvorfor ingen trekant kan ha mer enn én rett eller stump vinkel — det er rett og slett ikke nok grader til overs.

$180°$ er trekantens budsjett, og det går alltid akkurat opp. Det er en av de tingene i matematikken du kan stole på, hver eneste gang.