3.2 Lineære sammenhenger

Klatreparken med startgebyr

Du skal i klatrepark med klassen. Parken tar 1 krone i et lite startgebyr (de er rare sånn) og 2 kroner per time du klatrer. Hva koster det å være der i én time? $2 \cdot 1 + 1 = 3$ kroner. To timer? $2 \cdot 2 + 1 = 5$ kroner. Tre timer? 7 kroner.

Ser du mønsteret? For hver time du legger til, øker prisen med nøyaktig 2 kroner — verken mer eller mindre. Hvis vi kaller antall timer $x$ og prisen $y$, kan hele prislisten skrives som én eneste formel: $y = 2x + 1$.

Slike sammenhenger, der noe vokser like mye for hvert steg, kalles lineære sammenhenger — fordi grafen deres blir en kjerterett linje. På generell form skriver vi $y = ax + b$, der $a$ kalles stigningstallet og $b$ kalles konstantleddet. I denne fortellingen skal du lære hva de to tallene avslører om linjen — og hvordan du tegner den selv.

Stigningstall og konstantledd

De to tallene i $y = ax + b$ har hver sin jobb. Stigningstallet $a$ forteller hvor mye $y$ øker hver gang $x$ øker med 1 — i klatreparken var det de 2 kronene per time. Stigningstallet er linjens «fart», og kan regnes ut som endring i $y$ delt på endring i $x$: $\displaystyle a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Fortegnet til $a$ avslører retningen: er $a > 0$, går linjen oppover mot høyre — den er voksende. Er $a < 0$, går linjen nedover — avtakende. Og er $a = 0$, skjer det ingenting: linjen er helt flat og vannrett. Jo større tallverdi $a$ har, jo brattere er linjen — en linje med stigningstall 5 er mye brattere enn en med stigningstall 2.

Konstantleddet $b$ er startverdien — det $y$ er når $x = 0$. På grafen er det stedet der linjen krysser y-aksen. I klatreparken var det startgebyret på 1 krone: før du har klatret et eneste minutt, skylder du allerede 1 krone.

Mangler konstantleddet, som i $y = 5x$, er $b = 0$, og linjen går rett gjennom origo. Det passer for ting uten startgebyr — som å kjøpe epler til 5 kroner stykket: null epler koster null kroner.

Å tegne linjen — verditabellens magi

Hvordan tegner vi grafen til $y = 2x + 1$? Oppskriften heter verditabell: velg noen verdier for $x$, regn ut $y$ for hver av dem, og du har punkter du kan sette inn i koordinatsystemet.

La oss prøve med $x = -1, 0, 1$ og $2$. For $x = -1$: $y = 2 \cdot (-1) + 1 = -1$. For $x = 0$: $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. For $x = 1$: $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Og for $x = 2$: $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$.

Det gir punktene $(-1, -1)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$ og $(2, 5)$. Plotter du dem, ser du noe vakkert: de ligger på en snorrett linje! Det er ingen tilfeldighet — det er selve kjennetegnet på en lineær sammenheng. Legg en linjal langs punktene og trekk linjen.

Sjekk gjerne at tallene stemmer med teorien: punktet $(0, 1)$ viser at linjen krysser y-aksen i 1 — konstantleddet. Og fra punkt til punkt øker $y$ med 2 hver gang $x$ øker med 1 — stigningstallet.

Egentlig holder det med to punkter for å tegne en rett linje, men ta gjerne med tre eller fire: hvis ett av punktene ikke ligger på linje med de andre, har du regnet feil et sted, og tabellen avslører det med en gang.

Formelen som tegner rette linjer

Fortellingen begynte i klatreparken, der prisen fulgte et fast mønster: 1 krone i start og 2 kroner per time. Det mønsteret — og tusenvis av andre som likner — fanges av formelen $y = ax + b$, en lineær sammenheng som alltid gir en rett linje.

Du kjenner nå de to tallenes roller. Stigningstallet $a$ er farten: hvor mye $y$ øker når $x$ øker med 1. Positivt $a$ gir en voksende linje, negativt $a$ en synkende, og $a = 0$ en flat. Konstantleddet $b$ er starten: verdien når $x = 0$, der linjen krysser y-aksen. Og er $b = 0$, som i $y = 5x$, går linjen rett gjennom origo.

Du har også lært håndverket: lag en verditabell, regn ut $y$ for noen $x$-verdier, plott punktene og trekk linjen — og bruk et ekstra punkt som regnekontroll.

Neste gang du ser en prisliste, en mobilavtale eller en taksameter som tikker jevnt, kan du tenke: dette er bare $y = ax + b$ i forkledning.