3.1 Koordinatsystemet

Skattekartet

Tenk deg at du og en venn har laget et skattekart over skolegården. «Skatten ligger ved det store treet», sier vennen din. Men hvilket tre? Det finnes mange. «Gå tre skritt mot øst og to skritt mot nord fra flaggstanga», er en mye bedre beskjed. Med to tall og et fast startpunkt finner du nøyaktig riktig sted — hver gang.

Det er akkurat denne ideen matematikere har bygget koordinatsystemet på. Det er et slags kart for tall, og det består av tre ting: x-aksen, som er den vannrette linjen, y-aksen, som er den loddrette, og origo — punktet der de to aksene krysser hverandre. Origo er «flaggstanga» vår, selve startpunktet, og har koordinatene $(0, 0)$.

I denne fortellingen lærer du å beskrive punkter med tallpar, finne fram i alle de fire områdene av kartet — og aldri mer rote med hvilken vei du skal gå først.

To tall er alt du trenger

Et punkt i koordinatsystemet beskrives med to tall i parentes: $(x, y)$. Det første tallet er x-koordinaten, som forteller hvor langt du skal gå til høyre (eller venstre hvis tallet er negativt). Det andre er y-koordinaten, som forteller hvor langt opp (eller ned).

Punktet $(3, 2)$ finner du altså ved å starte i origo, gå 3 til høyre og 2 opp. Enkelt — så lenge du husker rekkefølgen! Og rekkefølgen er hellig: alltid x først. Punktet $(3, 2)$ og punktet $(2, 3)$ er to helt forskjellige steder, akkurat som «tre skritt øst, to skritt nord» og «to skritt øst, tre skritt nord» fører til hver sin skatt.

Trenger du en huskeregel? Tenk at du må gå bortover gulvet før du kan klatre opp stigen. Eller helt enkelt: x kommer før y i alfabetet, så x-en går først.

Hva med negative tall? De fungerer akkurat som på tallinjen. En negativ x-koordinat betyr at du går til venstre for origo, og en negativ y-koordinat betyr at du går ned. Punktet $(-3, 1)$ ligger altså 3 til venstre og 1 opp.

De fire kvadrantene

Når aksene krysser hverandre, deler de kartet i fire områder — som fire rom i et hus. Disse kalles kvadranter, og de nummereres med romertall mot klokka, med start øverst til høyre.

Kvadrant I er området øverst til høyre, der både x og y er positive — som punktet $(3, 2)$. Kvadrant II er øverst til venstre: der er x negativ, men y fortsatt positiv, som i $(-4, 1)$. Kvadrant III er nederst til venstre, der begge koordinatene er negative, som $(-2, -3)$. Og kvadrant IV er nederst til høyre, der x er positiv og y negativ, som $(5, -1)$.

La oss teste med fire punkter: $A(2, 3)$ har to positive koordinater og bor i kvadrant I. $B(-3, 1)$ har negativ x og positiv y — kvadrant II. $C(-2, -4)$ har to negative — kvadrant III. Og $D(4, -2)$ har positiv x og negativ y — kvadrant IV.

Men hva med et punkt som $(4, 0)$ eller $(0, -2)$? De ligger jo på selve aksene, akkurat på grensen mellom to rom. Slike punkter tilhører ingen kvadrant — de står så å si i døråpningen. Med fortegnene til de to koordinatene kan du altså alltid si hvilket rom et punkt bor i, uten å tegne noe som helst.

Kartet du alltid har med deg

Fortellingen begynte med et skattekart, og det er egentlig alt et koordinatsystem er: et kart der to tall er nok til å finne et hvilket som helst punkt. Den vannrette x-aksen og den loddrette y-aksen møtes i origo, $(0, 0)$ — startpunktet for all leting.

Du kan nå lese tallparet $(x, y)$ som en reisebeskrivelse: først x bortover (høyre hvis positiv, venstre hvis negativ), så y oppover (eller nedover). Og du vet at rekkefølgen aldri kan byttes om — $(3, 2)$ og $(2, 3)$ er to forskjellige skatter.

Aksene deler kartet i fire kvadranter: I øverst til høyre med begge koordinater positive, II øverst til venstre, III nederst til venstre med begge negative, og IV nederst til høyre. Bare ved å se på fortegnene vet du hvilket rom et punkt bor i — og punkter på selve aksene står i døråpningen og tilhører ingen kvadrant.

Koordinatsystemet blir verktøyet vårt i kapitlene som kommer, når vi skal tegne linjer og lese grafer. Kartet er klart — nå skal vi tegne på det.