2.3 Ulikheter - introduksjon

«Du må være minst 140 cm»

Du står i køen til den store berg-og-dal-banen i fornøyelsesparken. Ved inngangen henger et skilt: «Du må være minst 140 cm høy.» Skiltet sier ikke at du må være nøyaktig 140 cm — det holder å være 140 eller mer. Er du 152 cm? Velkommen om bord. 139? Beklager.

Slike regler er ikke likninger, for de handler ikke om at to ting er like. De handler om at noe er større enn, mindre enn eller minst noe annet. I matematikken kalles dette ulikheter, og vi skriver dem med fire symboler: $<$ (mindre enn), $>$ (større enn), $\leq$ (mindre enn eller lik) og $\geq$ (større enn eller lik).

Skiltet i parken kan skrives som $h \geq 140$, der $h$ er høyden din. I denne fortellingen skal vi lære å lese, løse og tegne ulikheter — og passe oss for én lumsk felle på slutten.

De fire tegnene

La oss bli kjent med symbolene. $3 < 5$ leses «tre er mindre enn fem», og $7 > 2$ leses «sju er større enn to». En grei huskeregel: tegnet er som et gap som alltid åpner seg mot det største tallet — den spisse enden peker mot det minste.

Så har vi de to tegnene med strek under: $\leq$ betyr «mindre enn eller lik», og $\geq$ betyr «større enn eller lik». Streken er som en liten bit av et likhetstegn, og den forteller at grensetallet selv er med. Skriver vi $x \leq 4$, mener vi alle tall som er 4 eller mindre. Skriver vi $x \geq -2$, mener vi $-2$ og alt som er større.

Forskjellen er viktig i hverdagen. «Du må være minst 140 cm» er $h \geq 140$ — er du nøyaktig 140, slipper du inn. Men «pakken må veie under 5 kilo» er $v < 5$ — veier den nøyaktig 5 kilo, er det for mye. Ett lite tegn kan avgjøre om du får bli med på berg-og-dal-banen eller må betale ekstra porto!

Mange svar på en gang — løsninger på tallinjen

Her er den store forskjellen fra likninger: en likning har som regel ett svar, men en ulikhet har ofte uendelig mange. Hvilke tall passer i $x > 3$? Jo, 4 passer. Og 5. Og 3,5. Og 100, og en million! Alle tall til høyre for 3 på tallinjen er løsninger. Hele gjengen kalles løsningsmengden.

Siden vi ikke kan liste opp uendelig mange tall, tegner vi løsningen på tallinjen i stedet. Da bruker vi sirkler som hemmelige koder: en åpen sirkel (○) på grensetallet betyr at tallet ikke er med, og en fylt sirkel (●) betyr at tallet er med. For $x > 3$ setter vi en åpen sirkel på 3 og skraverer alt til høyre. For $x \leq 5$ setter vi en fylt sirkel på 5 og skraverer alt til venstre.

Og hvordan løser vi en ulikhet? Akkurat som en likning! Balanseprinsippet gjelder her også. Skal vi løse $x + 3 > 7$, trekker vi fra 3 på begge sider: $x > 4$. Løsningen er alle tall større enn 4 — for eksempel 5, 6, 4,5, 10 eller 100. Sett gjerne prøve med ett av dem: er $5 + 3 > 7$? Ja, 8 er større enn 7. Det stemmer.

Fellen: når minus snur alt

Nå til den lumske fellen jeg lovte deg. Ulikheter løses som likninger — nesten alltid. Men én situasjon krever spesiell varsomhet: når du ganger eller deler med et negativt tall, må du snu ulikhetstegnet.

Hvorfor det? Se på noe vi vet er sant: $2 < 5$. Gang begge sider med $-1$, og du får $-2$ og $-5$. Men på tallinjen ligger $-2$ til høyre for $-5$! Så nå er det $-2 > -5$ som er sant. Å gange med minus speilvender tallinjen — alt bytter side rundt null — og da må tegnet snus for at setningen fortsatt skal være sann.

La oss bruke regelen: løs $-2x > 6$. Vi deler begge sider på $-2$, og fordi vi deler på et negativt tall, snur vi tegnet: $x < -3$. Sjekk med et tall fra løsningen, for eksempel $x = -4$: er $-2 \cdot (-4) > 6$? Det blir $8 > 6$ — sant!

Legg merke til at det bare er gange og dele med negative tall som snur tegnet. Å legge til eller trekke fra negative tall er helt ufarlig — da beholder tegnet retningen sin. Husker du denne ene regelen, kan du løse ulikheter like trygt som likninger.

Større enn, mindre enn — og den ene fellen

Fortellingen startet ved berg-og-dal-banen, der skiltet «minst 140 cm» viste oss hva en ulikhet er: en setning om at noe er større enn, mindre enn eller minst noe annet. Du kjenner nå de fire tegnene $<$, $>$, $\leq$ og $\geq$, og husker at gapet alltid åpner seg mot det største tallet, mens streken under betyr at grensetallet selv er med.

Du har sett at en ulikhet ikke har ett svar, men en hel løsningsmengde — ofte uendelig mange tall — og at vi tegner den på tallinjen med åpen sirkel når grensetallet ikke er med, og fylt sirkel når det er med.

Selve løsningen foregår med balanseprinsippet, akkurat som for likninger: $x + 3 > 7$ gir $x > 4$. Men du kjenner også fellen: ganger eller deler du med et negativt tall, speilvendes tallinjen, og ulikhetstegnet må snus — slik $-2x > 6$ blir til $x < -3$.

Neste gang du ser et skilt med «minst», «maks» eller «under», vet du at det egentlig står en liten ulikhet der og venter på deg.