2.1 Bokstavregning

Den hemmelighetsfulle boksen

Du står i kiosken og skal kjøpe brus til deg og to venner. Du vet ikke helt hva en flaske koster ennå — prisen er liksom en hemmelighet inntil du ser på hylla. Men én ting vet du sikkert: uansett pris skal du betale tre ganger den prisen.

Matematikere elsker slike situasjoner. De gir den ukjente prisen et navn — for eksempel bokstaven $x$ — og skriver: tre flasker koster $3 \cdot x$, eller bare $3x$ kroner. Bokstaven $x$ kalles en variabel, fordi den kan stå for tall som varierer eller som vi ikke kjenner ennå.

Dette er starten på algebra, eller bokstavregning: å regne med bokstaver i stedet for bare tall. Det høres kanskje rart ut, men du skal se at det følger akkurat de samme reglene som vanlig regning — og at det åpner døren til å løse gåter du ikke kunne løst før.

Uttrykk og like ledd

Et algebraisk uttrykk er en blanding av tall og bokstaver, som $3x$, $2a + 5$ eller $xy$. Legg merke til en skrivevane: vi dropper gangetegnet mellom tall og bokstav, og mellom bokstaver. $3x$ betyr altså $3 \cdot x$, og $xy$ betyr $x \cdot y$. Og står $x$ helt alene, betyr det egentlig $1x$.

Et uttrykk består av ledd — delene som er skilt med pluss og minus. I uttrykket $4x + 3y + 2x - y$ er leddene $4x$, $3y$, $2x$ og $-y$. Og her kommer den viktigste regelen i hele kapittelet: bare like ledd kan slås sammen. Like ledd har samme bokstavdel — $3x$ og $5x$ er like ledd, men $2x$ og $2y$ er det ikke, og heller ikke $4x^2$ og $3x$.

Tenk på det som frukt: 4 epler pluss 2 epler blir 6 epler, men 4 epler pluss 3 bananer blir ikke 7 «eplebananer» — det forblir epler og bananer hver for seg.

La oss rydde i uttrykket $4x + 3y + 2x - y$. Vi samler $x$-leddene: $4x + 2x = 6x$. Så $y$-leddene: $3y - y = 2y$. Uttrykket er forenklet til $6x + 2y$ — kortere, men nøyaktig like mye verdt.

Å gange med bokstaver

Hva med ganging? Når du ganger uttrykk med variabler, er trikset å rydde: gang tallene for seg, og bokstavene for seg.

Vi tar det enkleste først: $3 \cdot 4x$. Tallene ganges, $3 \cdot 4 = 12$, og bokstaven blir med på lasset: $12x$. Tenk på kiosken igjen — hvis 4 flasker koster $4x$ kroner, koster tre slike firepakninger $12x$ kroner.

Så et eksempel med to bokstaver: $3a \cdot 2b$. Tallene: $3 \cdot 2 = 6$. Bokstavene: $a \cdot b = ab$. Svaret blir $6ab$.

Og hva hvis samme bokstav ganges med seg selv? $2x \cdot 5x$ gir tallene $2 \cdot 5 = 10$, og bokstavene $x \cdot x$. Fra potenskapittelet vet du at et tall ganget med seg selv skrives med eksponent: $x \cdot x = x^2$. Svaret er altså $10x^2$.

Legg merke til forskjellen på pluss og gange: $x + x = 2x$, men $x \cdot x = x^2$. De to blandes ofte sammen, men nå vet du bedre: pluss teller hvor mange x-er du har, gange bygger potenser.

Når bokstaven får en verdi

Til slutt skal vi se hva som skjer når hemmeligheten avsløres — når variabelen får en verdi. Da kan vi finne ut nøyaktig hva uttrykket er verdt. Det kalles å sette inn verdier.

Tilbake til kiosken: tre brusflasker koster $3x$ kroner. I dag ser du på hylla at en flaske koster 25 kroner, altså $x = 25$. Da betaler du $3 \cdot 25 = 75$ kroner. Uttrykket $3x$ var som en oppskrift som ventet på et tall.

La oss ta et eksempel til. Hva er verdien av $3x + 5$ når $x = 4$? Vi bytter ut $x$ med 4 og regner med vanlig regnerekkefølge — gange før pluss: $3x + 5 = 3 \cdot 4 + 5 = 12 + 5 = 17$.

Her er det lurt å være nøye med én ting: når du setter inn, kommer det usynlige gangetegnet til syne igjen. $3x$ med $x = 4$ er $3 \cdot 4 = 12$, ikke «34»!

Dette er superkraften til algebra: ett uttrykk kan beskrive alle situasjoner på en gang. Uttrykket $3x$ gjelder uansett om brusen koster 18, 25 eller 32 kroner. Bokstaven holder plassen åpen til virkeligheten bestemmer seg.

Bokstavene som holder plass

Fortellingen begynte i kiosken med en ukjent bruspris, og nå behersker du språket som beskriver slike situasjoner: algebra. En variabel som $x$ er en plassholder for et tall vi ikke kjenner, eller som kan variere. Uttrykk som $3x$ og $2a + 5$ skrives uten gangetegn, men tegnet er der i smug.

Du har lært den gylne regelen om at bare like ledd kan slås sammen: $4x + 2x = 6x$, mens $6x + 2y$ ikke kan ryddes mer — epler og bananer forblir hver sin frukt. Ved ganging tar du tallene for seg og bokstavene for seg: $3 \cdot 4x = 12x$, $3a \cdot 2b = 6ab$, og $2x \cdot 5x = 10x^2$ fordi $x \cdot x = x^2$.

Til slutt så du hvordan uttrykk våkner til liv når du setter inn verdier: $3x + 5$ blir 17 når $x = 4$. Husk de tre klassiske fellene: $x$ betyr $1x$, $x + x = 2x$ mens $x \cdot x = x^2$, og innsetting betyr ganging — aldri sammenliming av sifre.

I neste kapittel skal bokstavene få jobbe for alvor: da bruker vi dem til å løse likninger.