1.3 Multiplikasjon og divisjon med brøk

Halvparten av en halv pizza

Du og en venn har en halv pizza igjen fra i går. Dere blir enige om å dele den likt — du skal altså ha halvparten av en halv pizza. Hvor mye av en hel pizza er det? Du skal finne $\displaystyle \frac{1}{2}$ av $\displaystyle \frac{1}{2}$, og i matematikken betyr «av» som regel å gange. Svaret er $\displaystyle \frac{1}{4}$ — en kvart pizza.

Her er en hyggelig overraskelse: å gange brøker er faktisk enklere enn å legge dem sammen! Du trenger ingen fellesnevner og ingen omveier. Og å dele med en brøk? Det har et eget triks som nesten føles som juks når du først lærer det.

I denne fortellingen skal vi gange brøker med hverandre, gange brøker med hele tall, og til slutt lære hemmeligheten bak å dele med brøk. Pizza, sjokoladeplater og saft blir med på veien.

Gange brøker — rett fram

Regelen for å gange to brøker er så enkel som den kan bli: teller ganger teller, og nevner ganger nevner. Med bokstaver: $\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

La oss prøve: $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$. Ferdig! Ingen fellesnevner, ingen styr.

Hvorfor fungerer det? Tenk på en sjokoladeplate. Deler du den i 3 like striper og tar 2 av dem, har du $\displaystyle \frac{2}{3}$. Deler du så hver stripe i 5 og tar 4 av de små bitene i hver stripe, har du delt hele platen i $3 \cdot 5 = 15$ småbiter og tatt $2 \cdot 4 = 8$ av dem. Akkurat det regelen sier.

Ett tips til slutt: sjekk alltid om svaret kan forkortes. Regner du $\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$, får du $\displaystyle \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{6}{20}$. Både 6 og 20 kan deles på 2, så svaret skrives penest som $\displaystyle \frac{3}{10}$. Samme verdi — bare i finere klær.

Brøk ganger heltall

Hva om du skal gange en brøk med et helt tall, for eksempel $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot 3$? Trikset er å huske at alle hele tall kan skrives som en brøk med 1 i nevneren: $\displaystyle 3 = \frac{3}{1}$. Da kan du bruke regelen du allerede kan.

$\displaystyle \frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{1} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5}$.

Telleren ble større enn nevneren, så dette er en uekte brøk — mer enn én hel. Vi kan skrive den om til blandet tall: $\displaystyle \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$, altså én hel og en femtedel.

Tenk deg det praktisk: en oppskrift på saft krever $\displaystyle \frac{2}{5}$ liter sirup, og du skal lage tre porsjoner. Da trenger du $\displaystyle 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$ liter — litt mer enn en hel liter. I praksis ganger du bare telleren med heltallet og lar nevneren stå i fred: tre porsjoner à 2 femtedeler blir 6 femtedeler.

Å dele med brøk — snu og gang!

Nå til dagens magiske triks. Hvordan deler man noe på en brøk? Regelen lyder: å dele med en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken — brøken der teller og nevner har byttet plass. Med bokstaver: $\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

Men gir det mening? Tenk på spørsmålet «hvor mange halvlitere går det i to liter brus?» Det er regnestykket $\displaystyle 2 \div \frac{1}{2}$. Svaret er åpenbart 4 — og det er nøyaktig det samme som $2 \cdot 2$. Å dele med en halv er å gange med 2! Jo mindre biter du deler opp i, jo flere biter får du.

La oss ta et skikkelig eksempel: $\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{4}{9}$. Vi snur den bakerste brøken og ganger: $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{18}{12}$. Forkorter vi med 6, får vi $\displaystyle \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Og ett til: $\displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$.

Husk rekkefølgen i hodet som en liten regle: behold den første, snu den andre, gang. Det er hele hemmeligheten.

Snu, gang og forkort

Denne fortellingen startet med en halv pizza som skulle deles i to — og endte med at du kan både gange og dele alle slags brøker.

Å gange brøker er rett fram: teller ganger teller, nevner ganger nevner, slik at $\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20}$. Ingen fellesnevner trengs — den hører hjemme hos pluss og minus. Skal du gange en brøk med et helt tall, skriver du tallet som brøk med nevner 1, eller enklere: du ganger bare telleren, slik at $\displaystyle 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$.

Divisjonens hemmelighet var trikset snu og gang: $\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}$. Og du vet hvorfor det virker — å dele to liter brus i halvlitere gir fire flasker, fordi å dele på $\displaystyle \frac{1}{2}$ er det samme som å gange med 2.

Til slutt den gode vanen: se alltid over svaret og forkort hvis du kan, slik at $\displaystyle \frac{18}{12}$ blir til $\displaystyle \frac{3}{2}$, altså $\displaystyle 1\frac{1}{2}$. Da er brøkregningen både riktig og ryddig.