3.4 Sirkelen

Sykkelhjulets hemmelighet

Du triller sykkelen din ved siden av deg og legger merke til noe: hver gang hjulet snurrer én hel runde, flytter sykkelen seg et stykke framover. Men hvor langt, egentlig? Like langt som hjulet er bredt? Lenger?

For å svare må vi bli kjent med den rundeste av alle figurer: sirkelen. En sirkel er alle punktene som har nøyaktig lik avstand fra et senter -- det er derfor den er perfekt rund.

Og inni dette spørsmålet om sykkelhjulet gjemmer det seg et av matematikkens mest berømte tall, et tall så spesielt at det har fått sitt eget navn og sin egen gresk bokstav: pi. I dette kapittelet møter du radius, diameter og pi -- og til slutt vet du nøyaktig hvor langt sykkelen ruller på én runde.

Radius og diameter

Før vi kan løse hjulgåten, trenger vi to ord. Radius ($r$) er avstanden fra sentrum av sirkelen og ut til kanten. Tenk på eikene i sykkelhjulet: hver eik går fra navet i midten ut til felgen -- alle like lange, akkurat som alle radiuser i en sirkel er like lange.

Diameter ($d$) er avstanden tvers over hele sirkelen, målt gjennom sentrum. Det er den lengste streken du kan tegne inni sirkelen.

Sammenhengen mellom dem er enkel og grei: diameteren er to radiuser lagt etter hverandre,

$$d = 2 \cdot r$$

Har hjulet en radius på 35 cm, er diameteren 70 cm. Og motsatt vei: er diameteren 10 cm, er radiusen $10 \div 2 = 5$ cm.

Dette lille regnestykket dukker opp hele tiden, så det er verdt å øve inn begge veier: fra radius til diameter ganger du med 2, fra diameter til radius deler du på 2. Pass på i oppgaver -- noen ganger får du oppgitt radiusen når du trenger diameteren, og da må du huske å doble!

Pi -- og hvor langt hjulet ruller

Nå kommer det magiske. Mål omkretsen (avstanden helt rundt) av en hvilken som helst sirkel -- et hjul, en tallerken, en pizzabunn -- og del på diameteren. Du får alltid det samme svaret:

$$\pi = \frac{\text{omkrets}}{\text{diameter}} \approx 3,14$$

Dette tallet kalles pi og skrives med den greske bokstaven $\pi$. Det gjelder for alle sirkler i hele universet, store som små: omkretsen er alltid litt mer enn 3 ganger diameteren. Er ikke det rart og fint på samme tid?

Når vi vet det, kan vi snu på det og regne ut omkretsen:

$$O = \pi \cdot d = 2 \pi r$$

La oss prøve: en sirkel med diameter 10 cm har omkrets $O = 3,14 \cdot 10 = 31,4$ cm. Og en sirkel med radius 5 cm? Det er jo den samme sirkelen -- diameteren er $2 \cdot 5 = 10$ cm, så omkretsen er fortsatt 31,4 cm.

Og endelig: sykkelhjulet! Med diameter 70 cm ruller hjulet $3,14 \cdot 70 = 219,8$ cm på én runde -- nesten 2,2 meter. Så hver gang hjulet snurrer rundt, har du flyttet deg over to meter framover. Gåten er løst.

Oppsummering

Sykkelhjulets hemmelighet er avslørt, og du har blitt kjent med sirkelens tre stjerner. Radius er avstanden fra sentrum til kanten, diameter er avstanden tvers over gjennom sentrum, og de henger sammen ved $d = 2 \cdot r$.

Den tredje stjernen er selveste pi: deler du omkretsen på diameteren, får du alltid omtrent 3,14 -- uansett hvilken sirkel i verden du måler. Derfor kan omkretsen alltid regnes ut med $O = \pi \cdot d$, eller $2 \pi r$ om du heller kjenner radiusen. En sirkel med diameter 10 cm har omkrets 31,4 cm, og sykkelhjulet på 70 cm ruller nesten 2,2 meter per runde.

Den beste huskeregelen tar du med deg videre: omkretsen er alltid litt mer enn 3 ganger diameteren. Og får du oppgitt radiusen, så husk å doble den før du ganger med pi.

Fra nå av ser du pi overalt -- i hjul, tallerkener, klokker og pizzaer.