3.3 Overflate av prismer

Gaven som skal pakkes inn

Det er bursdag i familien, og du har kjøpt den perfekte gaven. Den ligger i en eske, og nå står du der med gavepapir og saks. Spørsmålet er: hvor mye papir trenger du for å dekke hele esken?

Dette er et klassisk matteproblem i forkledning. Det du egentlig spør om, er overflaten til esken: det totale arealet av alle sidene til sammen. Volumet fra forrige kapittel handlet om plassen inni boksen -- overflaten handler om «papiret rundt».

Det fins et knep som gjør dette enkelt: tenk deg at du bretter esken helt ut, så den ligger flat på bordet. Da ser du alle sidene samtidig, og du kan regne ut arealet av hver av dem. I dette kapittelet lærer du knepet -- og en formel som gjør deg til innpakningsekspert.

Brett ut boksen!

Ta en tom cornflakeseske og brett den helt ut. Det flate mønsteret du får, kalles et nett -- det er hele esken, lagt flat utover. Og nå ser du noe viktig: en boks har 6 sideflater.

Ser du nøyere etter, oppdager du at de seks sidene kommer i 3 like par: bunnen og toppen er like, forsiden og baksiden er like, og de to endeflatene er like. Det er nøkkelen til formelen for overflaten av en boks med lengde $l$, bredde $b$ og høyde $h$:

$$O = 2lb + 2lh + 2bh$$

Les den som en historie: $2lb$ er bunn og topp, $2lh$ er forside og bakside, og $2bh$ er de to endene. Tre par, tre ledd.

Og legg merke til enheten! Overflate er et areal, så den måles i cm² eller m² -- ikke i cm³. Volumet (plassen inni) får kubikk, overflaten (trekket utenpå) får kvadrat. Blander du dem, kjøper du gavepapir i liter -- og det går dårlig i butikken.

Fra formel til gavepapir

Tilbake til gaven. Esken er 4 cm lang, 3 cm bred og 2 cm høy. Vi regner parvis, akkurat som nettet viser oss.

Bunn og topp: $2 \cdot (4 \cdot 3) = 24$ cm². Forside og bakside: $2 \cdot (4 \cdot 2) = 16$ cm². De to endene: $2 \cdot (3 \cdot 2) = 12$ cm². Til sammen:

$$O = 24 + 16 + 12 = 52 \text{ cm}^2$$

Du trenger altså minst 52 cm² papir -- pluss litt ekstra til bretting, som alle gaveinnpakkere vet.

Terningen er boksenes enkleste slektning: der er alle 6 sidene like store kvadrater. Da krymper formelen til $O = 6 \cdot s \cdot s$, der $s$ er sidelengden. En terning med sider på 3 cm har overflate $6 \cdot 3 \cdot 3 = 6 \cdot 9 = 54$ cm².

Til slutt, husk forskjellen på de to størrelsene vi nå kan regne ut for samme boks: volumet er plassen inni -- hvor mye esken rommer. Overflaten er arealet av alle sidene -- hvor mye papir som skal til for å dekke den. Samme eske, to helt forskjellige spørsmål.

Oppsummering

Gaven er pakket inn -- uten å gå tom for papir. Du vet nå at overflaten er det totale arealet av alle sideflatene på en gjenstand, og at det lureste trikset er å tenke på nettet: figuren brettet helt ut, der alle flatene ligger synlige på bordet.

En boks har 6 sideflater i 3 like par, og derfor er formelen $O = 2lb + 2lh + 2bh$ -- bunn og topp, forside og bakside, og de to endene. For esken på 4 × 3 × 2 cm ga det $24 + 16 + 12 = 52$ cm². Terningen er enklest av alle: 6 like kvadrater gir $O = 6 \cdot s \cdot s$.

Og hold orden på de to spørsmålene man kan stille om en boks: volumet er plassen inni og måles i cm³, mens overflaten er «papiret rundt» og måles i cm².

Neste gang noen skal pakke inn en gave eller male en kasse, er det deg de bør spørre om hvor mye som trengs.