3.2 Volum - introduksjon

Flytteesken

Familien skal flytte, og du har fått ansvaret for å pakke tingene dine. Du ser på esken og på haugen med bøker, spill og klær: får alt plass? Det du egentlig lurer på, er hvor mye rom det er inni esken.

Det har matematikken et navn for: volum. Volum er hvor mye plass en gjenstand tar opp -- eller hvor mye som får plass inni den. Tenk deg at du fyller esken med bittesmå terninger: volumet er antallet terninger som får plass.

Derfor måler vi volum i kubikkenheter: kubikkcentimeter (cm³), kubikkdesimeter (dm³) og kubikkmeter (m³). I dette kapittelet lærer du å regne ut volumet av bokser og prismer -- og du får vite den overraskende sammenhengen mellom kubikk og literen på melkekartongen.

Volumet av en boks

La oss starte med esken. En boks -- det matematikerne kaller et rektangulært prisme -- har tre mål: lengde, bredde og høyde. Volumet finner du ved å gange alle tre:

$$V = l \cdot b \cdot h$$

Hvorfor funker det? Tenk på de små terningene igjen. I bunnen av en boks som er 4 cm lang og 3 cm bred, får det plass $4 \cdot 3 = 12$ terninger på 1 cm³. Er boksen 5 cm høy, kan du stable 5 slike lag: $12 \cdot 5 = 60$ terninger. Altså:

$$V = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \text{ cm}^3$$

Dette avslører en enda mer generell formel. Det vi egentlig gjorde, var å finne arealet av bunnen -- grunnflaten $G$ -- og gange med høyden. For alle rette prismer gjelder:

$$V = G \cdot h$$

Uansett om grunnflaten er et rektangel, en trekant eller noe annet: areal av grunnflaten ganger høyden gir volumet.

Husk at volum har tre dimensjoner -- lengde, bredde og høyde -- og det er derfor enheten har et tretall: cm³. En terning med sider på 2 cm har volum $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ cm³.

Literen -- volum i hverdagen

Åpne kjøleskapet, og du finner volum overalt: melkekartongen rommer 1 liter, brusflasken en halv. Men hva er egentlig en liter?

Her kommer en av matematikkens fineste sammenhenger: 1 liter er nøyaktig 1 dm³ -- volumet av en terning der alle sidene er 1 dm (altså 10 cm). Melkekartongen og en terning på 10 cm × 10 cm × 10 cm rommer akkurat like mye!

Fra dette kan vi bygge hele omregningstabellen. Siden 1 dm = 10 cm, er $1 \text{ dm}^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000$ cm³. Altså: 1 liter = 1 000 cm³. Og går vi oppover: $1 \text{ m}^3 = 1\,000$ dm³ = 1 000 liter. En kubikkmeter rommer altså tusen melkekartonger -- det er et helt badekar og vel så det.

La oss bruke det: en boks rommer 2 000 cm³. Hvor mange liter er det? Vi deler på 1 000: 2 liter. Og et akvarium på 0,5 m³? Det er $0,5 \cdot 1\,000 = 500$ liter vann.

Med disse omregningene kan du veksle mellom kubikkenheter og liter like lett som mellom kroner og tiere.

Oppsummering

Esken ble pakket med millimeterpresisjon, og du har lært å måle rom. Volum er hvor mye plass noe tar opp, og det måles i kubikkenheter -- cm³, dm³ og m³ -- fordi volum har tre dimensjoner: lengde, bredde og høyde.

For en boks er formelen $V = l \cdot b \cdot h$, slik som $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ cm³. Og for alle rette prismer gjelder den store fellesformelen $V = G \cdot h$: arealet av grunnflaten ganger høyden. Tenk lag på lag med småterninger, så gir formelen seg selv.

Så var det literen: 1 dm³ = 1 liter, terningen på 10 cm × 10 cm × 10 cm. Derfra følger at 1 liter = 1 000 cm³ og 1 m³ = 1 000 liter.

Neste gang du ser en melkekartong, vet du at du holder nøyaktig én kubikkdesimeter i hånden -- og neste gang du pakker en eske, kan du regne ut på forhånd om alt får plass.