3.1 Areal av trekanter

Vimpler til klassefesten

Klassen skal pynte gymsalen med trekantede vimpler i lange rekker, og du har meldt deg til å sy dem. Men hvor mye stoff trenger du egentlig til hver vimpel? Stoff koster penger, så du vil ikke kjøpe for mye -- og i hvert fall ikke for lite.

Det du trenger å finne, er arealet av en trekant: hvor stor flaten er. For rektangler kan du det allerede -- lengde ganger bredde. Men trekanter ser jo helt annerledes ut, med den spisse toppen sin?

Her kommer dagens store aha-opplevelse: en trekant er i hemmelighet halvparten av et rektangel. Når du først ser det, blir arealformelen nesten selvsagt -- og vimpelprosjektet en lek. Bli med, så avslører vi trikset!

Halvparten av et rektangel

Ta et rektangulært ark og klipp langs diagonalen, fra hjørne til hjørne. Hva sitter du igjen med? To helt like trekanter! Hver trekant er altså nøyaktig halvparten av rektangelet. Det er hele hemmeligheten bak arealformelen:

$$A = \frac{g \cdot h}{2}$$

Her er $g$ grunnlinjen -- siden trekanten «står på» -- og $h$ er høyden. Vi ganger dem sammen, akkurat som for et rektangel, og deler på 2 fordi trekanten bare er halve rektangelet.

Én ting må du passe ekstra godt på: høyden er ikke en av de skrå sidene. Høyden står alltid vinkelrett på grunnlinjen -- den måles rett opp, som en stolpe, fra grunnlinjen til det øverste hjørnet.

La oss teste på en vimpel med grunnlinje 8 cm og høyde 5 cm:

$$A = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}^2$$

Hver vimpel krever altså 20 kvadratcentimeter stoff. Legg merke til enheten: areal måles alltid i kvadratenheter som cm² eller m², fordi vi teller hvor mange små kvadrater som dekker flaten.

Regne fram -- og regne baklengs

Nå produserer vi vimpler i full fart. En stor modell har grunnlinje 10 cm og høyde 6 cm: $\displaystyle A = \frac{10 \cdot 6}{2} = \frac{60}{2} = 30$ cm². En grei arbeidsrekkefølge er å gange først og dele på 2 etterpå -- da går det sjelden galt.

Men så skjer det noe artig. En i klassen har funnet et restestykke stoff og sier: «Jeg har laget en vimpel med areal 24 cm², og grunnlinjen er 8 cm. Hvor høy er den?» Nå kjenner vi arealet, men mangler høyden -- vi må regne baklengs.

Tenk slik: arealet ble til ved at vi ganget og delte på 2. Da kan vi nøste opp igjen: ganger vi arealet med 2, får vi tilbake $g \cdot h$: altså $24 \cdot 2 = 48$. Og når $g \cdot h = 48$ og $g = 8$, må høyden være $48 \div 8 = 6$ cm.

Du kan alltid sjekke svaret ved å regne framlengs: $\displaystyle \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$ cm². Stemmer!

Slik baklengsregning er superpraktisk: vet du arealet og én av størrelsene, finner du alltid den siste. Det gjelder å huske at formelen kan brukes begge veier.

Oppsummering

Vimplene henger i gymsalen, og du kan nå en av geometriens viktigste formler. Hemmeligheten bak den: en trekant er halvparten av et rektangel med samme grunnlinje og høyde. Derfor er arealet

$$A = \frac{g \cdot h}{2}$$

der $g$ er grunnlinjen og $h$ er høyden. Det viktigste å huske om høyden er at den alltid står vinkelrett på grunnlinjen -- den er ikke en av de skrå sidene. Og arealet oppgir du i kvadratenheter som cm² eller m².

Du kan også bruke formelen baklengs: kjenner du arealet og grunnlinjen, ganger du arealet med 2 og deler på grunnlinjen for å finne høyden -- slik vi fant at vimpelen med areal 24 cm² og grunnlinje 8 cm måtte være 6 cm høy.

Gang først, del på 2 etterpå -- så er du trygg, enten du syr vimpler, legger gulv eller løser prøveoppgaver.