1.2 Addisjon og subtraksjon av brøk

Sjokoladeregnskapet

Du har en sjokoladeplate delt i fem like ruter. Du spiser to ruter, og bestevennen din spiser én. Hvor mye av platen er borte? To femdeler pluss én femdel ... det må da bli tre femdeler?

Helt riktig! $\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$. Når bitene er like store, er brøkregning nesten like lett som vanlig pluss og minus.

Men så kommer utfordringen: neste dag spiser du $\displaystyle \frac{1}{2}$ av en plate, og vennen din spiser $\displaystyle \frac{1}{3}$ av en like stor. Hvor mye er spist til sammen nå? Halvdeler og tredjedeler er ikke like store biter, så vi kan ikke bare telle dem i hop. Da trenger vi et triks du allerede kjenner: fellesnevneren.

I dette kapittelet lærer du å legge sammen og trekke fra brøker -- både når nevnerne er like, og når de er ulike. Etterpå har du full kontroll på alle sjokoladeregnskap.

Når nevnerne er like

Når brøkene har lik nevner, er bitene like store, og da legger vi rett og slett sammen tellerne:

$$\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2 + 1}{5} = \frac{3}{5}$$

Nevneren forblir den samme! Tenk på det slik: nevneren forteller hvor store bitene er, og telleren teller hvor mange biter du har. To femdeler pluss én femdel er tre femdeler -- akkurat som 2 epler pluss 1 eple er 3 epler. Du finner ikke plutselig på å si «3 pærer».

Her må vi advare mot den vanligste brøkfeilen i verdenshistorien: å legge sammen nevnerne. $\displaystyle \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$ er ikke $\displaystyle \frac{3}{10}$ -- bitene blir jo ikke mindre av at du spiser flere av dem! Det riktige svaret er $\displaystyle \frac{3}{5}$. Nevnerne legges aldri sammen.

Subtraksjon fungerer på akkurat samme måte, bare med minus: $\displaystyle \frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8}$. Og her er et proffstips til slutt: sjekk alltid om svaret kan forkortes. $\displaystyle \frac{2}{8}$ kan deles på 2 oppe og nede, så det fine svaret er $\displaystyle \frac{1}{4}$.

Når nevnerne er ulike

Tilbake til gåten fra starten: $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. Halvdeler og tredjedeler er ulike biter, så vi kan ikke telle dem sammen direkte. Løsningen er å finne en fellesnevner først, og gjøre alle bitene like store.

For 2 og 3 er fellesnevneren 6. Vi utvider begge brøkene: $\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ og $\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Nå er alt sjettedeler, og da er det fritt fram:

$$\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$

Dere spiste altså fem sjettedeler til sammen -- nesten hele platen!

La oss ta et større eksempel: $\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{3}{4}$. Fellesnevneren finner vi ved å gange nevnerne: $3 \cdot 4 = 12$. Så utvider vi: $\displaystyle \frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ og $\displaystyle \frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Da blir summen $\displaystyle \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}$. Telleren er større enn nevneren, så dette er mer enn en hel! Vi kan skrive det som $\displaystyle 1\frac{5}{12}$, altså én hel og fem tolvdeler.

Subtraksjon går samme vei: $\displaystyle \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$ blir $\displaystyle \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$. Og husk det lure trikset: tallet 1 kan alltid skrives som $\displaystyle \frac{4}{4}$, $\displaystyle \frac{8}{8}$ eller akkurat den brøken du trenger.

Oppskriften er alltid den samme: fellesnevner først, utvid brøkene, regn med tellerne -- og forkort svaret til slutt.

Oppsummering

Sjokoladeregnskapet er gjort opp, og du har lært reglene som gjelder for all addisjon og subtraksjon av brøk.

Når brøkene har lik nevner, legger du sammen eller trekker fra tellerne og beholder nevneren: $\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$. Nevnerne legges aldri sammen -- det er den store fellen, og nå går du ikke i den.

Når brøkene har ulik nevner, finner du først en fellesnevner, utvider brøkene så bitene blir like store, og regner deretter med tellerne: $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. Blir telleren større enn nevneren, som i $\displaystyle \frac{17}{12}$, har du mer enn en hel og kan skrive svaret som $\displaystyle 1\frac{5}{12}$.

Og til slutt proffvanen som gjør svarene dine ekstra pene: sjekk alltid om svaret kan forkortes. Fellesnevner først, regn etterpå, forkort til slutt -- det er hele oppskriften.