1.1 Utviding og forkorting av brøk

Pizzakrangelen

Du og lillebroren din deler hver deres like store pizza. Din er delt i fire stykker, og du spiser to av dem. Hans er delt i to, og han spiser ett stykke. «Du tok mest!» roper han. Men stemmer det egentlig? Du spiste $\displaystyle \frac{2}{4}$, han spiste $\displaystyle \frac{1}{2}$ -- er ikke det akkurat det samme?

Jo! To brøker kan være like selv om de ser helt forskjellige ut. Faktisk er $\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}$ -- alle betyr «en halv».

I dette kapittelet lærer du to triks for å bytte mellom slike brøker: utviding, som gir brøken større tall, og forkorting, som gjør den enklest mulig. Og til slutt får du hemmeligheten som gjør at brøker kan sammenlignes: fellesnevneren. Da kan du avgjøre alle pizzakrangler en gang for alle.

Å utvide en brøk

Å utvide en brøk betyr å gange både teller og nevner med samme tall. Tar vi $\displaystyle \frac{2}{3}$ og ganger oppe og nede med 4, får vi $\displaystyle \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$. Brøken ser ny ut, men verdien er nøyaktig den samme!

Hvorfor endres ikke verdien? Fordi vi i virkeligheten har ganget med $\displaystyle \frac{4}{4}$ -- og $\displaystyle \frac{4}{4}$ er bare en fancy måte å skrive 1 på. Å gange med 1 forandrer ingenting, akkurat som å veksle en femtilapp i fem tiere: pengene ser annerledes ut, men du er like rik.

La oss prøve selv. Vi skal utvide $\displaystyle \frac{3}{5}$ slik at nevneren blir 20. Først spør vi: hva må 5 ganges med for å bli 20? Jo, 4, siden $5 \cdot 4 = 20$. Da må telleren ganges med akkurat det samme tallet: $3 \cdot 4 = 12$. Altså er $\displaystyle \frac{3}{5} = \frac{12}{20}$.

Her kommer den gylne regelen i hele brøkverdenen: gjør alltid det samme med teller og nevner. Ganger du bare nevneren og glemmer telleren, har du laget en helt annen brøk -- og da blir det bråk i pizzaregnskapet.

Å forkorte en brøk

Forkorting er det samme trikset baklengs: vi deler teller og nevner med samme tall. Tar vi $\displaystyle \frac{8}{12}$ og deler oppe og nede på 4, får vi $\displaystyle \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$. Samme verdi -- bare med mindre og penere tall.

En brøk er maksimalt forkortet når teller og nevner ikke har noen felles faktorer lenger (bortsett fra 1). Da går det rett og slett ikke an å forkorte mer.

La oss forkorte $\displaystyle \frac{18}{24}$ maksimalt. Vi kan ta det i små steg: begge tallene kan deles på 2, og da får vi $\displaystyle \frac{9}{12}$. Begge kan så deles på 3, og vi får $\displaystyle \frac{3}{4}$. Nå finnes det ikke noe tall som går opp i både 3 og 4, så vi er ferdige. De som vil ta det i ett jafs, kan dele direkte på den største felles faktoren, 6: $\displaystyle \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$. Samme svar, raskere vei.

Og nå kan vi endelig avgjøre pizzakrangelen! Du spiste $\displaystyle \frac{2}{4}$, og forkorter vi den, blir det $\displaystyle \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}$. Lillebror spiste også $\displaystyle \frac{1}{2}$. Dere spiste nøyaktig like mye -- krangel avblåst.

Fellesnevneren -- brøkenes møteplass

Tenk deg at du skal sammenligne $\displaystyle \frac{1}{3}$ og $\displaystyle \frac{1}{4}$ av en sjokoladeplate. Hvilken bit er størst? Det er vanskelig å se så lenge platene er delt i ulikt antall biter. Men hva om vi deler begge i like mange? Det er akkurat det en fellesnevner gjør: det er en nevner som passer for flere brøker samtidig.

For $\displaystyle \frac{1}{3}$ og $\displaystyle \frac{1}{4}$ er 12 en fellesnevner, for både 3 og 4 går opp i 12. Vi utvider: $\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ og $\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$. Nå ser vi det klart og tydelig: $\displaystyle \frac{4}{12}$ er større enn $\displaystyle \frac{3}{12}$, så $\displaystyle \frac{1}{3}$ er den største biten.

Hvordan finner du fellesnevneren? Let etter et tall begge nevnerne går opp i. Du kan alltid gange nevnerne med hverandre, men ofte finnes et mindre tall: for $\displaystyle \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \frac{3}{8}$ holder det med 8, siden 2 går opp i 8.

La oss ta en skikkelig duell: hvem er størst av $\displaystyle \frac{2}{3}$ og $\displaystyle \frac{3}{5}$? Fellesnevneren er 15. Vi utvider: $\displaystyle \frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ og $\displaystyle \frac{3}{5} = \frac{9}{15}$. Vinneren er $\displaystyle \frac{2}{3}$ -- med én femtendel!

Og en klassiker til slutt: Per spiste $\displaystyle \frac{4}{12}$ av en pizza, Lise spiste $\displaystyle \frac{1}{3}$ av en like stor. Forkort $\displaystyle \frac{4}{12}$, og du får $\displaystyle \frac{1}{3}$. De spiste nøyaktig like mye.

Oppsummering

Pizzakrangelen er løst, og du har fått tre kraftige verktøy i brøkverktøykassa.

Utviding betyr å gange teller og nevner med samme tall: $\displaystyle \frac{3}{5} = \frac{12}{20}$. Verdien endres ikke, fordi du egentlig bare ganger med 1. Forkorting er det motsatte: du deler teller og nevner med samme tall, slik at $\displaystyle \frac{18}{24}$ blir til $\displaystyle \frac{3}{4}$. En brøk er maksimalt forkortet når ingen tall bortsett fra 1 går opp i både teller og nevner.

Og når to brøker skal sammenlignes eller senere legges sammen, henter du fram fellesnevneren -- et tall begge nevnerne går opp i. Da kan du skrive brøkene med lik nevner og se direkte hvilken som er størst, slik vi så at $\displaystyle \frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ slo $\displaystyle \frac{3}{5} = \frac{9}{15}$.

Den gylne regelen gjelder hele veien: gjør alltid nøyaktig det samme med teller og nevner. Følger du den, kan ingen lure deg i brøkenes verden -- ikke engang lillebror.