9.3 Proporsjonalitet

Dobbelt så mye av alt?

Mureren på byggeplassen får en beskjed: «Vi trenger dobbelt så mye betong som planlagt.» Han nikker rolig — for han vet at da trenger han også dobbelt så mye sement, dobbelt så mye sand og dobbelt så mye grus. Mengdene henger sammen i et fast forhold, og endrer du én, endres alle.

Slike sammenhenger kalles proporsjonalitet, og de dukker opp overalt i arbeidslivet. Mengden maling henger sammen med arealet som skal dekkes. Antall arbeidstimer henger sammen med lønna. Ingrediensene i en oppskrift skaleres opp og ned med antall porsjoner, og en plantegning henger sammen med det virkelige bygget gjennom målestokken.

Men pass på: ikke alle sammenhenger virker samme vei. Når flere arbeidere deler på en jobb, går tiden ned, ikke opp. Det er også en proporsjonalitet — bare omvendt. I dette kapittelet skal vi lære å kjenne igjen begge typene, regne med blandingsforhold som mureren gjør, og bruke målestokk slik arkitekten gjør. Tre verktøy, én felles idé: faste forhold mellom størrelser.

Rett proporsjonalitet og blandingsforhold

To størrelser er rett proporsjonale når de vokser i takt: dobbelt så mye av den ene gir dobbelt så mye av den andre. Matematisk skriver vi $y = k \cdot x$, der $k$ kalles proporsjonalitetskonstanten — forholdstallet som binder størrelsene sammen. Tegner du sammenhengen i et koordinatsystem, får du en rett linje gjennom origo, punktet $(0, 0)$. Det gir mening: null maling dekker null vegg.

Et eksempel: dekker $1$ liter maling $10$ m², dekker $3$ liter $3 \cdot 10 = 30$ m². Konstanten er $k = 10$ m² per liter.

Tilbake til mureren. Betongen hans blandes i forholdet $1$ del sement : $3$ deler sand : $5$ deler grus. Har han $20$ kg sement, trenger han $20 \cdot 3 = 60$ kg sand og $20 \cdot 5 = 100$ kg grus — hver komponent skalerer med samme faktor.

Men hva om bestillingen lyder på $450$ kg ferdig blanding totalt? Da bruker han et knep du får mye glede av: finn først verdien av én del. Forholdstallene summeres til $1 + 3 + 5 = 9$ deler, så én del er $\displaystyle \frac{450}{9} = 50$ kg. Dermed blir det $1 \cdot 50 = 50$ kg sement, $3 \cdot 50 = 150$ kg sand og $5 \cdot 50 = 250$ kg grus. Kontrollen er innebygd: $50 + 150 + 250 = 450$ kg — alt går opp. Samme metode fungerer for malingsblandinger, sausoppskrifter og alt annet som blandes etter faste forhold.

Omvendt proporsjonalitet — mer av det ene, mindre av det andre

Byggelederen står med en tidsplan som sprekker: to arbeidere har brukt på å beregne $10$ dager på flisleggingen, men kunden vil ha det ferdig fortere. «Hva om vi setter på fire arbeidere?» Da halveres tiden: $\displaystyle \frac{10}{2} = 5$ dager. Dobbelt så mange folk, halvparten så lang tid.

Dette er omvendt proporsjonalitet: når den ene størrelsen øker, minker den andre tilsvarende. Formelen er $\displaystyle y = \frac{k}{x}$, og det fine kjennetegnet er at produktet er konstant: $x \cdot y = k$ uansett. I eksempelet: $2 \cdot 10 = 20$ dagsverk, og $4 \cdot 5 = 20$ dagsverk. Jobben krever $20$ dagsverk uansett hvordan de fordeles — det er konstanten $k$.

Slik skiller du de to typene fra hverandre i praksis. Spør deg selv: hvis jeg dobler den ene, hva skjer med den andre? Dobles den også — som maling og veggareal, timer og lønn — er sammenhengen rett proporsjonal, og forholdet $\displaystyle \frac{y}{x}$ er konstant. Halveres den — som arbeidere og tid, fart og reisetid på samme strekning — er den omvendt proporsjonal, og produktet $x \cdot y$ er konstant.

Vær samtidig litt kritisk i virkeligheten: hundre malere blir ikke ferdige på et kvarter, for de går i veien for hverandre. Matematikken beskriver idealet, og fagarbeiderens jobb er å vite når modellen holder — og når sunn fornuft må overstyre den.

Målestokk — virkeligheten i lommeformat

Arkitekten sender over plantegningen av huset du skal jobbe på. Nederst i hjørnet står det «1 : 50». Det er en målestokk — et forholdstall mellom tegning og virkelighet: $1$ cm på tegningen tilsvarer $50$ cm i virkeligheten.

Med det forholdstallet kan du oversette begge veier. Fra virkelighet til tegning deler du på $50$: et rom som er $4{,}2$ m $= 420$ cm langt, blir $\displaystyle \frac{420}{50} = 8{,}4$ cm på papiret. Fra tegning til virkelighet ganger du med $50$: en døråpning som måler $1{,}8$ cm på tegningen, er $1{,}8 \cdot 50 = 90$ cm $= 0{,}9$ m bred i virkeligheten — akkurat nok til et standard dørblad.

Men så kommer fellen som har lurt mange: arealer. Stuen måler $12$ cm² på tegningen — hvor stor er den egentlig? Det er fristende å gange med $50$, men arealet har to dimensjoner: både lengden og bredden er skalert ned med faktor $50$. Derfor må arealet ganges med $50^2 = 2\,500$: $12 \cdot 2\,500 = 30\,000$ cm² $= 3$ m². (Hm — $3$ m² er en liten stue; på en ekte tegning ville den nok vært større, men regneprinsippet er det samme.)

Husk altså: lengder skalerer med målestokken, arealer med målestokken i andre potens. Det er samme poeng som i enhetskapittelet — areal har to dimensjoner, og faktorer som virker på lengder, virker dobbelt på arealer.

Oppsummering: faste forhold overalt

Mureren, byggelederen og arkitekten brukte alle samme matematiske idé — faste forhold mellom størrelser.

Rett proporsjonalitet, $y = k \cdot x$, gjelder når størrelsene vokser i takt: dobbelt så mye maling dekker dobbelt så stort areal. Grafen er en rett linje gjennom origo, og forholdet $\displaystyle \frac{y}{x}$ er alltid konstanten $k$. For blandingsforhold som $1 : 3 : 5$ fant du nøkkelen: summer delene ($9$), finn verdien av én del ($\displaystyle \frac{450}{9} = 50$ kg), og gang opp hver komponent. Kontrollen er at delene summerer til totalen.

Omvendt proporsjonalitet, $\displaystyle y = \frac{k}{x}$, gjelder når mer av det ene gir mindre av det andre: dobbelt så mange arbeidere, halvparten så lang tid. Kjennetegnet er at produktet $x \cdot y$ er konstant — de $20$ dagsverkene forsvinner ikke, de bare fordeles annerledes.

Målestokken er et forholdstall mellom tegning og virkelighet: ved $1 : 50$ deler du på $50$ fra virkelighet til tegning og ganger med $50$ motsatt vei — men arealer skaleres med $50^2 = 2\,500$, fordi både lengde og bredde krymper.

Neste gang noen sier «dobbelt så mye», vet du nøyaktig hva som skal dobles — og hva som faktisk skal halveres.