9.1 Likninger i praksis

Regningen med det manglende tallet

En kunde ringer og klager på en rørleggerregning: «Totalen er $4\,350$ kr for tre timers arbeid, men hva er egentlig utkjøringsprisen deres?» Du vet at timeprisen er $950$ kr, og at totalen består av en fast utkjøringspris pluss timene. Men selve utkjøringsprisen står ikke på arket. Kan du finne den?

Det du står overfor, er en likning: et utsagn om at to uttrykk er like, der én størrelse er ukjent. Den ukjente kaller vi gjerne $x$. Situasjonen over kan skrives som $x + 3 \cdot 950 = 4\,350$ — «utkjøringspris pluss tre timer à $950$ kr er lik $4\,350$ kr». Finner vi $x$, har vi svaret til kunden.

Likninger finnes overalt i arbeidslivet, ofte uten at de kalles det. Hvor mange timer ligger bak en faktura? Hvilken pris må vi sette for å gå i null? Hvor mye materiale rekker budsjettet til? Enkle eksempler som $x + 5 = 12$ og $3x = 24$ kan du kanskje løse i hodet — men når tallene blir styggere og uttrykkene lengre, trenger du en metode som alltid virker. Den metoden er temaet for dette kapittelet.

Vekten i balanse

Tenk på en likning som en gammeldags skålvekt i balanse. Venstre side av likhetstegnet ligger i den ene skålen, høyre side i den andre, og vekten står i ro fordi de veier like mye. Skal du endre noe, må du gjøre det samme på begge sider — ellers tipper vekten, og likheten ødelegges. Du kan legge til samme tall på begge sider, trekke fra samme tall, gange begge sider med samme tall, eller dele begge sider på samme tall (bare ikke null). Målet er hele tiden det samme: å få $x$ til å stå alene på den ene siden.

La oss løse rørleggergåten. Likningen er $x + 3 \cdot 950 = 4\,350$, altså $x + 2\,850 = 4\,350$. Vi vil bli kvitt $2\,850$ på venstre side, så vi trekker fra $2\,850$ på begge sider: $x = 4\,350 - 2\,850 = 1\,500$. Utkjøringsprisen er $1\,500$ kr.

Men er svaret riktig? Det sjekker vi med en prøve: sett svaret inn i den opprinnelige likningen. $1\,500 + 3 \cdot 950 = 1\,500 + 2\,850 = 4\,350$ — det stemmer på kronen, og du kan svare kunden med trygghet.

En førstegradslikning har formen $ax + b = c$, og fremgangsmåten er alltid den samme: flytt tallene uten $x$ over til den andre siden (husk at fortegnet byttes når et ledd flytter side — det er bare en snarvei for «trekk fra på begge sider»), og del til slutt på tallet som står foran $x$. Med den oppskriften i lomma er ingen faktura lenger et mysterium.

Når x står på begge sider

Neste situasjon fra arbeidshverdagen: bedriften din skal sette ut et maleroppdrag, og to lag har gitt tilbud. Lag A tar $2\,500$ kr i oppstart pluss $420$ kr per time. Lag B tar bare $1\,000$ kr i oppstart, men $520$ kr per time. Hvilket lag er billigst? Det kommer an på hvor lenge jobben varer — og det interessante spørsmålet er: ved hvor mange timer koster de to lagene like mye?

Vi lar $x$ være antall timer og setter de to kostnadene lik hverandre: $2\,500 + 420x = 1\,000 + 520x$. Nå står det $x$-ledd på begge sider, men vektprinsippet gjelder fortsatt. Først trekker vi $420x$ fra begge sider: $2\,500 = 1\,000 + 100x$. Så trekker vi fra $1\,000$: $1\,500 = 100x$. Til slutt deler vi på $100$: $x = 15$.

Ved $15$ timer koster lagene like mye. Prøven bekrefter det: Lag A koster $2\,500 + 420 \cdot 15 = 8\,800$ kr, og Lag B koster $1\,000 + 520 \cdot 15 = 8\,800$ kr. Konklusjonen til sjefen blir dermed: er jobben kortere enn $15$ timer, velg Lag B; er den lengre, velg Lag A.

Ett verktøy til trenger du: parenteser. Står det $2(x + 3) = 14$, løser du først opp parentesen ved å gange inn: $2x + 6 = 14$, som gir $2x = 8$ og $x = 4$. Og uansett hvor sammensatt likningen er — avslutt alltid med prøven. På prøver og eksamener gir den deg sikkerhet; i jobb kan den redde deg fra å gi kunden feil svar.

Oppsummering: fra faktura til formellikning

Kunden fikk svaret sitt — utkjøringsprisen var $1\,500$ kr — og du fikk en metode du kommer til å bruke resten av yrkeslivet.

En likning sier at to uttrykk er like, og den ukjente $x$ er tallet som får det til å stemme. Vektprinsippet er hele hemmeligheten: gjør samme operasjon på begge sider — legg til, trekk fra, gang eller del — så bevares likheten. For en førstegradslikning som $ax + b = c$ samler du $x$-leddene på én side og tallene på den andre, og deler til slutt på tallet foran $x$.

Står det $x$ på begge sider, som i sammenligningen av de to malerlagene, trekker du bare fra det minste $x$-leddet på begge sider og fortsetter som før — slik fant vi at lagene kostet like mye ved $15$ timer. Parenteser løses opp først: $2(x + 3) = 2x + 6$.

Og den viktigste vanen av alle: prøven. Sett svaret inn i den opprinnelige likningen og sjekk at begge sider blir like. Det tar tretti sekunder og avslører både regnefeil og tastefeil — enten du sitter på eksamen eller skal forklare en kunde hva tallene på fakturaen betyr.