5.1 Sannsynlighet i praksis

Tre av hundre

Amir jobber i kvalitetskontrollen på en skruefabrikk. Erfaringen er klar: i gjennomsnitt har 3 av 100 skruer en feil. I dag skal fabrikken sende ut et parti på 500 skruer til en byggevarekjede, og sjefen spør: «Hvor mange defekte må vi regne med?» Amir trenger ikke åpne en eneste eske for å svare – han trenger sannsynlighetsregning.

Sannsynlighet beskriver hvor trolig det er at noe skjer, målt på en skala fra 0 til 1 – eller 0 % til 100 %. Verdien 0 betyr umulig, 1 betyr helt sikkert, og 0,5 betyr at det er like sannsynlig som usannsynlig. En skrue fra Amirs fabrikk har sannsynlighet $0{,}03$ for å være defekt – ikke umulig, men heldigvis langt fra sikkert.

Sannsynlighet er et arbeidsverktøy i mange yrker: kvalitetskontroll og feilrater i produksjon, forsikring og risikovurdering, HMS og ulykkesforebygging, og planlegging av vedlikehold. I denne fortellingen lærer du de to måtene å fastsette en sannsynlighet på, det praktiske trikset som heter komplement – og hvordan du går fra sannsynlighet til forventet antall, slik Amir gjør når han svarer sjefen.

To veier til en sannsynlighet

Hvordan finner vi tallet $P$? Det finnes to hovedveier.

Den første er klassisk sannsynlighet, som gjelder når alle utfall er like sannsynlige: $\displaystyle P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$. Kaster du en terning, er sannsynligheten for en sekser $\displaystyle \frac{1}{6}$, fordi terningen har seks like sannsynlige sider og bare én av dem er gunstig.

Men ingen vet på forhånd hvor sannsynlig det er at en skrue er defekt – det står ikke på terningen. Da bruker vi den andre veien: relativ frekvens, sannsynlighet basert på observasjoner og erfaringstall. $\displaystyle P(A) \approx \frac{\text{antall ganger A skjer}}{\text{totalt antall forsøk}}$. Amirs fabrikk har lang erfaring: 3 defekte per 100 skruer gir $\displaystyle P(\text{feil}) = \frac{3}{100} = 0{,}03 = 3\,\%$. Dette kalles også empirisk sannsynlighet, og det er slik feilrater, sykefravær og ulykkesstatistikk blir til sannsynligheter i arbeidslivet.

Så et lite triks som sparer mye regning: komplementet. Sannsynligheten for at noe ikke skjer, er én minus sannsynligheten for at det skjer: $P(\text{ikke A}) = 1 - P(A)$. Sannsynligheten for at en skrue er feilfri, er $1 - 0{,}03 = 0{,}97 = 97\,\%$. På bilverkstedet, der 8 av 50 biler får anmerkninger på EU-kontrollen, er $\displaystyle P(\text{anmerkning}) = \frac{8}{50} = 0{,}16$, og dermed $P(\text{godkjent uten anmerkning}) = 1 - 0{,}16 = 0{,}84$. Summen av en hendelse og komplementet er alltid 1 – noe skjer, eller så skjer det ikke.

Forventet antall – fra prosent til prognose

Nå kan Amir svare sjefen. Når hver skrue har sannsynlighet 0,03 for å være defekt, og partiet inneholder 500 skruer, blir det forventede antallet defekte: $500 \cdot 0{,}03 = 15$ skruer. Formelen er enkel: forventet antall $=$ sannsynlighet $\cdot$ antall forsøk, altså $P \cdot n$. Det betyr ikke at det blir nøyaktig 15 – men det er det beste anslaget, og det fabrikken bør planlegge etter.

Samme regnestykke dukker opp overalt. En bedrift med 25 ansatte vet at sannsynligheten for sykefravær er 12 % på mandager og 6 % midt i uken: forventet fravær blir $25 \cdot 0{,}12 = 3$ ansatte på mandag, men bare $25 \cdot 0{,}06 = 1{,}5$ – altså én til to – på onsdag. Bilverkstedet som venter 200 biler til EU-kontroll med anmerkningsrate 0,16, bør rigge for $200 \cdot 0{,}16 = 32$ ekstrarunder.

Til slutt en situasjon som krever litt mer: En elektriker vet av erfaring at 95 % av alle strømbrytere fungerer feilfritt i minst ti år. I et nybygg monteres 40 brytere. Forventet antall som svikter innen ti år: $40 \cdot 0{,}05 = 2$ brytere. Men hva er sannsynligheten for at alle 40 holder? Da må hver eneste bryter klare seg, og når hendelsene er uavhengige, ganger vi sannsynlighetene sammen: $P(\text{alle ok}) = 0{,}95^{40} \approx 0{,}13$. Bare 13 %! Selv om hver enkelt bryter nesten helt sikkert holder, er det overraskende usannsynlig at samtlige gjør det. Dette er multiplikasjonsprinsippet for sannsynligheter – og en påminnelse om at «nesten sikkert» ganget med seg selv mange nok ganger blir ganske usikkert.

Tall å planlegge etter

Amir svarte sjefen uten å åpne en eske: «Regn med 15 defekte av 500.» Verktøyene bak svaret er nå dine. Sannsynlighet er et tall mellom 0 og 1 som angir hvor trolig noe er – beregnet klassisk som $\displaystyle \frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}$ når utfallene er like sannsynlige, eller empirisk fra erfaringstall som relativ frekvens, slik feilrater, EU-kontroller og sykefravær blir til sannsynligheter i arbeidslivet.

Komplementet $P(\text{ikke A}) = 1 - P(A)$ gir deg gratis den andre siden av enhver sannsynlighet – 3 % feil betyr 97 % feilfritt. Og forventet antall $= P \cdot n$ oversetter prosenter til planleggingstall: 15 defekte skruer, 3 syke på mandag, 32 biler med anmerkning. Husk samtidig multiplikasjonen for uavhengige hendelser: at alle 40 brytere holder i ti år, krever $0{,}95^{40} \approx 13\,\%$ – «nesten sikkert» mange ganger på rad er slett ikke sikkert.

Dette er sannsynlighetsregningens hverdagsnytte: ikke å spå enkeltutfall, men å gi tall å dimensjonere etter – hvor mange reserveskuer som bør ligge på lager, hvor mange vikarer som trengs på mandag, hvor stor buffer prosjektet tåler. Den som regner på forventninger, blir sjelden overrasket av dem.