4.3 Statistikk i media

Tjue ventetider og null oversikt

Verkstedsjefen på bilverkstedet der Jonas er lærling, har fått klager på ventetiden. Jonas får jobben med å undersøke, og registrerer ventetiden i minutter for 20 kunder: 15, 8, 32, 45, 12, 28, 5, 22, 38, 18, 55, 10, 25, 42, 20, 35, 14, 48, 30, 7. Han stirrer på tallrekken. Er dette bra eller dårlig? Umulig å si – tjue løse tall gir ingen oversikt.

Problemet er velkjent i alle yrker: en elektriker måler strømforbruk i 50 boliger, en helsefagarbeider registrerer blodtrykk hos 30 pasienter, en kokk noterer ventetid på 40 bestillinger, en mekaniker leser av kilometerstanden på 60 biler til EU-kontroll. Når observasjonene blir mange, er det vanskelig å se mønstre i en lang tallrekke. Løsningen er å gruppere dataene i klasser og lage en frekvenstabell.

En klasse er et intervall som verdiene grupperes i, for eksempel $[0, 10\rangle$, $[10, 20\rangle$ og $[20, 30\rangle$. Klassebredden er avstanden mellom nedre og øvre grense – her 10. Frekvensen er antall observasjoner i hver klasse. I denne fortellingen hjelper vi Jonas med å bygge tabellen, velge fornuftige klasser – og hente ut svar med relative og kumulative frekvenser.

Jonas bygger frekvenstabellen

Jonas velger klassebredde 10 og setter opp klassene $[0, 10\rangle$, $[10, 20\rangle$, $[20, 30\rangle$, $[30, 40\rangle$, $[40, 50\rangle$ og $[50, 60\rangle$. Legg merke til skrivemåten: halvåpne intervaller. $[10, 20\rangle$ betyr fra og med 10 til, men ikke med, 20. Dermed hører 10, 15 og 19,9 til klassen $[10, 20\rangle$, mens 20 hører til neste klasse. Uten denne regelen ville en ventetid på nøyaktig 20 minutter havnet i to klasser samtidig – halvåpne intervaller sikrer at hver observasjon får nøyaktig én plass.

Så teller han opp: 3 kunder ventet under 10 minutter, 5 ventet mellom 10 og 20, 4 mellom 20 og 30, 4 mellom 30 og 40, 3 mellom 40 og 50, og 1 stakkar over 50. Summen er 20 – stemmer med antall kunder.

Neste kolonne er relativ frekvens – andelen i hver klasse: $\displaystyle \frac{\text{frekvens}}{\text{totalt antall}}$. Klassen $[10, 20\rangle$ får $\displaystyle \frac{5}{20} = 25\,\%$, og hele kolonnen blir 15 %, 25 %, 20 %, 20 %, 15 % og 5 % – til sammen 100 %.

Siste kolonne er kumulativ frekvens: summen av frekvensene opp til og med hver klasse. Den løper 3, 8, 12, 16, 19, 20. Nå kan Jonas svare sjefen presist: flest kunder (25 %) ventet mellom 10 og 20 minutter, og den kumulative frekvensen 12 viser at 12 av 20 kunder – 60 % – ventet under en halvtime. Spørsmål av typen «hvor mange ventet mindre enn ...?» er nøyaktig det kumulativ frekvens er bygget for.

Å velge klassebredde – og regne videre på klassedelte data

Hvorfor valgte Jonas akkurat klassebredde 10? Det finnes ingen fasit, men gode tommelfingerregler: bruk mellom 5 og 10 klasser, gi alle klassene lik bredde, velg «runde» tall som bredde (5, 10, 20, 50, 100), og pass på at klassene dekker alle observasjonene. En enkel formel gir startpunktet: klassebredde $\displaystyle \approx \frac{\text{største verdi} - \text{minste verdi}}{\text{antall klasser}}$, rundet opp til et praktisk tall. For Jonas: $\displaystyle \frac{55 - 5}{5} = 10$. Perfekt.

For få klasser klumper alt sammen og skjuler mønsteret; for mange klasser gir én og én observasjon per klasse – like uoversiktlig som rådataene. Mellom fem og ti klasser treffer som regel balansen.

Men klassedeling har en pris: vi mister de eksakte verdiene. Hva om sjefen vil vite gjennomsnittlig ventetid? Da bruker vi klassemidtpunktet – midten av hver klasse – som representant for alle observasjonene i klassen. For $[10, 20\rangle$ er midtpunktet 15. Det tilnærmede gjennomsnittet blir $\displaystyle \bar{x} \approx \frac{\sum (m_i \cdot f_i)}{n}$, der $m_i$ er midtpunktene og $f_i$ frekvensene. For Jonas: $\displaystyle \frac{5 \cdot 3 + 15 \cdot 5 + 25 \cdot 4 + 35 \cdot 4 + 45 \cdot 3 + 55 \cdot 1}{20} = \frac{520}{20} = 26$ minutter.

Også medianen kan spores i tabellen: med 20 observasjoner ligger medianen rundt observasjon 10–11, og den kumulative kolonnen (3, 8, 12, ...) viser at begge ligger i klassen $[20, 30\rangle$. Slik gir den ferdige tabellen både oversikt og regnegrunnlag – mønsteret synlig, og sentralmålene innen rekkevidde.

Fra tallrekke til beslutningsgrunnlag

Jonas leverte ikke en tallrekke til sjefen – han leverte en tabell som svarte på spørsmålene. Veien dit er oppskriften du nå kan: Del dataene inn i klasser med lik klassebredde, valgt etter tommelfingerregelen om 5–10 klasser og formelen $\displaystyle \frac{\text{største} - \text{minste}}{\text{antall klasser}}$, rundet til et praktisk tall. Bruk halvåpne intervaller som $[10, 20\rangle$, slik at hver observasjon hører hjemme i nøyaktig én klasse.

Selve tabellen har tre regnekolonner: frekvensen teller observasjonene i hver klasse (og skal summere seg til totalen), relativ frekvens $\displaystyle = \frac{\text{frekvens}}{n}$ gjør tallene om til andeler, og kumulativ frekvens summerer oppover og svarer på «hvor mange under grensen?» – som da 12 av 20 kunder viste seg å vente under en halvtime.

Og når eksaktverdiene er borte, redder klassemidtpunktet regnestykkene: tilnærmet gjennomsnitt er $\displaystyle \bar{x} \approx \frac{\sum (m_i \cdot f_i)}{n}$, og medianklassen finner du ved å lete i den kumulative kolonnen. Enten det gjelder ventetider, blodtrykk, strømforbruk eller kilometerstand: store datasett blir håndterbare i det øyeblikket du gir dem klasser – og en god frekvenstabell er forskjellen på å ha data og å forstå dem.