3.4 Arealmåling i praksis

Tegningen i hånden, bygget i hodet

Tømrerlærlingen Vilde får utdelt en byggetegning første dag på nytt prosjekt: et garasjeverksted som skal settes opp. Nederst i hjørnet står det «1 : 50». Formannen peker på tegningen og sier: «Mål selv — alt du trenger å vite, står der.»

Det lille tallparet er en målestokk, og den angir forholdet mellom lengder på tegningen og lengder i virkeligheten. Når vi tegner bygninger, maskindeler, møbler eller kart, må virkeligheten forminskes — eller noen ganger forstørres — for å få plass på papiret.

En forminskning skrives $1 : n$. Målestokk 1 : 100 betyr at 1 cm på tegningen tilsvarer 100 cm, altså 1 m, i virkeligheten. Målestokk 1 : 50 betyr at 1 cm tilsvarer 50 cm, og på et turkart i 1 : 20 000 tilsvarer 1 cm hele 200 m. En forstørring skrives motsatt, $n : 1$: i målestokk 2 : 1 er tegningen dobbelt så stor som virkeligheten, og 5 : 1 brukes når bittesmå maskindeler skal tegnes tydelig.

Målestokk leses i alle yrker: tømrere og rørleggere leser byggetegninger, mekanikere tekniske skisser, kokker kjøkkenplaner og helsepersonell plantegninger av avdelinger. I dette kapittelet lærer du å regne begge veier — fra tegning til virkelighet og tilbake.

Fra tegning til virkelighet

Vilde legger linjalen på tegningen. Garasjeverkstedet er 18 cm langt og 12 cm bredt på papiret, og målestokken er 1 : 50. Hva er de virkelige målene?

Regelen er enkel: fra tegning til virkelighet ganger du med målestokktallet. Hver centimeter på tegningen er 50 cm i virkeligheten, så

$$18 \text{ cm} \cdot 50 = 900 \text{ cm} = 9{,}0 \text{ m}$$

$$12 \text{ cm} \cdot 50 = 600 \text{ cm} = 6{,}0 \text{ m}$$

Verkstedet blir altså 9 meter langt og 6 meter bredt — et gulvareal på $9 \cdot 6 = 54$ m². Legg merke til arbeidsgangen: gang med målestokktallet først, og gjør deretter om til en fornuftig enhet. Centimeter er fint på papiret, men bygg måles i meter.

Det samme prinsippet gjelder uansett hvor stor målestokken er. På et kart i 1 : 25 000 blir 4 cm til $4 \cdot 25\,000 = 100\,000$ cm, altså 1 km. Og for forstørringer går logikken motsatt vei: på en deltegning i 5 : 1 er en skrue som måler 35 mm på tegningen, bare $35 : 5 = 7$ mm i virkeligheten.

Den vanligste feilen er å glemme enhetene. Gang alltid i samme enhet som tegningen er målt i, og konverter til slutt — da går det sjelden galt.

Fra virkelighet til tegning — og kartet i sekken

Noen ganger går regnestykket motsatt vei. Vilde skal tegne inn en arbeidsbenk som er 6 m lang på tegningen i 1 : 50. Da deler hun på målestokktallet:

$$\text{Mål på tegning} = \frac{\text{virkelig mål}}{50} = \frac{600 \text{ cm}}{50} = 12 \text{ cm}$$

Gange fra tegning til virkelighet, dele fra virkelighet til tegning — det er hele systemet.

Samme regning følger med på fjellturen i helgen. Turkartet har målestokk 1 : 25 000, og avstanden mellom to hytter måler 8,4 cm på kartet. I virkeligheten er det

$$8{,}4 \cdot 25\,000 = 210\,000 \text{ cm} = 2\,100 \text{ m} = 2{,}1 \text{ km}$$

Til slutt en finurlighet som lurer mange: arealer skaleres ikke med målestokktallet, men med kvadratet av det. I målestokk 1 : 50 blir hver lengde 50 ganger større — men et areal har to dimensjoner, så det blir $50^2 = 2\,500$ ganger større. Et rom som er 2 cm × 3 cm $= 6$ cm² på tegningen, er $1 \text{ m} \times 1{,}5 \text{ m} = 1{,}5$ m² i virkeligheten — sjekk gjerne: $6 \text{ cm}^2 \cdot 2\,500 = 15\,000$ cm² $= 1{,}5$ m². Skal du beregne gulvareal fra en tegning, er det derfor tryggest å regne om lengdene til virkelige mål først, og ta arealet etterpå.

Oppsummering

Vilde kan nå lese tegningen like trygt som formannen: tallparet 1 : 50 er en kontrakt mellom papiret og virkeligheten. Målestokk $1 : N$ betyr at 1 cm på tegningen tilsvarer $N$ cm i virkeligheten — og dermed gjelder to enkle regneregler: fra tegning til virkelighet ganger du med $N$, fra virkelighet til tegning deler du på $N$. Forstørringer skrives $N : 1$ og betyr at tegningen er $N$ ganger større enn objektet, slik små maskindeler tegnes.

Husk de to klassiske snublesteinene. Den første er enhetene: regn i tegningens enhet, og gjør om til meter eller kilometer til slutt — slik 8,4 cm på turkartet i 1 : 25 000 ble til 2,1 km. Den andre er arealene: lengder skaleres med $N$, men arealer med $N^2$, så i 1 : 50 er virkelige arealer 2 500 ganger større enn på papiret.

Med disse reglene i bakhodet er enhver byggetegning, rørskisse eller plantegning et åpent dokument: alt du trenger å vite, står faktisk der — akkurat som formannen sa.