2.2 Prosentvis endring | Matematikk 2P-Y

Tolv prosent dyrere

På byggevarehuset henger et skilt: «Prisene på byggematerialer øker med 12 % fra nyttår.» Tømreren Selin sukker — gipsplatene hun kjøpte til 450 kr pakken i fjor, kommer til å koste mer. Men hvor mye mer, helt nøyaktig?

Prosent dukker opp overalt i arbeidslivet: prisøkninger og rabatter, lønnsoppgjør, renter på lån og sparing, materialsvinn og toleranser. Prosentvis endring forteller hvor mye noe har økt eller minket i forhold til utgangspunktet — og det finnes et verktøy som gjør all slik regning nesten latterlig enkel: vekstfaktoren.

Vekstfaktoren er tallet du ganger med for å komme fra gammel til ny verdi. Øker noe med $p$ %, er vekstfaktoren $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$ . Synker noe med $p$ %, er den $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$ . En økning på 15 % gir vekstfaktor 1,15, en nedgang på 20 % gir 0,80, og en økning på 8 % gir 1,08.

I dette kapittelet skal vi bruke vekstfaktoren til å regne på priser som stiger, lønninger som vokser år for år, og den klassiske fellen der to prosentøkninger ikke blir det du tror.

Vekstfaktoren i arbeid

Tilbake til gipsplatene. Prisen var 450 kr, og økningen er 12 %. Vekstfaktoren er $1 + 0{,}12 = 1{,}12$ , så den nye prisen blir

$450 \cdot 1{,}12 = 504 \text{ kr}$

Ny verdi er altså gammel verdi ganger vekstfaktoren. Enkelt og greit. Men vekstfaktoren kan også brukes baklengs. Selins firma fikk en leveranse i 2025 til 28 000 kr — etter prisøkningen. Hva ville den kostet i 2024? Da deler vi på vekstfaktoren:

$\frac{28\,000}{1{,}12} = 25\,000 \text{ kr}$

Skal du finne den gamle verdien, deler du den nye på vekstfaktoren — du ganger aldri med «1 minus prosenten», det gir feil svar.

Går prisen ned, fungerer alt likt, bare med en vekstfaktor under 1. Får Selin 20 % rabatt på et verktøy til 2 500 kr, betaler hun $2\,500 \cdot 0{,}80 = 2\,000$ kr.

Og vil du måle hvor stor en endring har vært, bruker du formelen for prosentvis endring:

$\frac{\text{ny verdi} - \text{gammel verdi}}{\text{gammel verdi}} \cdot 100\,\%$

Steg prisen fra 450 til 504 kr, er endringen $\displaystyle \frac{504 - 450}{450} \cdot 100\,\% = 12\,\%$ — som forventet. Legg merke til at vi alltid deler på den gamle verdien: det er utgangspunktet endringen måles mot.

Når prosentene gjentar seg

Selins lærling, Omar, har nettopp signert lærekontrakt med startlønn på 320 000 kr i året og 5 % lønnsøkning hvert år. Hva tjener han om noen år?

Etter ett år er lønnen $320\,000 \cdot 1{,}05 = 336\,000$ kr. Etter to år ganger vi med 1,05 igjen — og her kommer poenget: ved gjentatt prosentvis endring multipliserer vi vekstfaktorene. Etter tre år er lønnen

$320\,000 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 320\,000 \cdot 1{,}05^3 = 320\,000 \cdot 1{,}157625 \approx 370\,440 \text{ kr}$

Generelt kan vi skrive lønnen etter $n$ år som $L(n) = 320\,000 \cdot 1{,}05^n$ .

Legg merke til noe viktig: tre økninger på 5 % gir ikke 15 % totalt. Vekstfaktoren $1{,}05^3 = 1{,}157625$ tilsvarer en samlet økning på omtrent 15,76 % — litt mer enn 15, fordi hver økning regnes av et stadig høyere beløp. Det samme ser du med to økninger på 10 %: $1{,}10 \cdot 1{,}10 = 1{,}21$ , altså 21 % totalt, ikke 20 %.

Dette er «rente på rente»-effekten, og den virker begge veier. Den gjør sparepengene dine større enn du tror over tid — og den gjør at gjentatte prisøkninger biter hardere enn de ser ut til på papiret. Den som kan multiplisere vekstfaktorer, gjennomskuer begge deler.

Oppsummering

Fra gipsplater til lærlinglønn — vekstfaktoren har gjort jobben hver gang. Ved en økning på $p$ % er vekstfaktoren $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$ , ved en nedgang er den $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$ . Ny verdi finner du ved å gange den gamle verdien med vekstfaktoren, og den gamle verdien finner du ved å dele den nye på vekstfaktoren — aldri ved å trekke fra prosenten på nytt.

Ved gjentatt endring multipliseres vekstfaktorene: tre år med 5 % vekst gir $1{,}05^3$ , og to økninger på 10 % gir $1{,}21$ — altså 21 %, ikke 20. Hver endring regnes av den forrige verdien, og det er nettopp denne rente-på-rente-effekten som gjør at små prosenter blir store over tid.

Vil du måle en endring i ettertid, bruker du $\displaystyle \frac{\text{ny} - \text{gammel}}{\text{gammel}} \cdot 100\,\%$ , der du alltid deler på den gamle verdien.

Med disse tre verktøyene — vekstfaktor frem, vekstfaktor tilbake og multipliserte vekstfaktorer — kan du regne på alt fra lønnsoppgjør til rabattjakt uten å gå i en eneste prosentfelle.