2.1 Lineære sammenhenger | Matematikk 2P-Y

Lønna som vokser i rett linje

Adrian er mekaniker og tjener 285 kr timen. Jobber han én time, tjener han 285 kr. To timer, 570 kr. Tre timer, 855 kr. Tegner du disse punktene i et koordinatsystem, ser du noe slående: de ligger på en snorrett linje.

Slike sammenhenger — der noe øker eller minker jevnt — kalles lineære, og de er overalt i arbeidslivet: timelønn, strømregninger med fastledd, drivstofforbruk per mil, materialkostnad per meter. En lineær funksjon har alltid formen

$f(x) = ax + b$

der $a$ kalles stigningstallet og forteller hvor bratt linjen er, mens $b$ kalles konstantleddet og forteller hvor linjen krysser $y$ -aksen.

Det fine med lineære funksjoner er at de er forutsigbare. Kjenner du de to tallene $a$ og $b$ , kan du regne ut hva som helst: hva en jobb vil koste, hva en arbeidsdag gir i lønn, hva strømregningen blir neste måned. I dette kapittelet skal vi lære å lese, tolke og lage slike funksjoner med utgangspunkt i situasjoner fra verkstedet og arbeidshverdagen.

Stigningstall og konstantledd

La oss sette ord og tall på Adrians lønn. Inntekten hans etter $x$ timer er

$f(x) = 285x$

Stigningstallet er $a = 285$ : inntekten øker med 285 kr for hver time han jobber. Konstantleddet er $b = 0$ — jobber han null timer, tjener han null kroner, og grafen starter i origo. En vanlig 8-timersdag gir $f(8) = 285 \cdot 8 = 2\,280$ kr.

Stigningstallet forteller generelt hvor mye $y$ -verdien endrer seg når $x$ øker med 1. Er $a > 0$ , stiger linjen mot høyre. Er $a < 0$ , synker den — tenk på verdien av et verktøy som taper seg jevnt. Og er $a = 0$ , er linjen helt vannrett: ingenting endrer seg.

Men ikke alle regninger starter på null. Bedriften der Adrian jobber, betaler fast nettleie på 450 kr i måneden pluss 1,20 kr per kilowattime strøm. Månedskostnaden blir

$K(x) = 1{,}20x + 450$

Her er stigningstallet $a = 1{,}20$ — hver kWh koster 1,20 kr ekstra — og konstantleddet $b = 450$ er den faste nettleia som må betales uansett forbruk. Selv en måned med null forbruk koster 450 kr. Konstantleddet er altså «startprisen», mens stigningstallet er «prisen per enhet». Klarer du å peke ut disse to i en praktisk situasjon, har du allerede laget modellen.

Å finne funksjonen fra to punkter

Ofte kjenner du ikke $a$ og $b$ på forhånd — du har bare noen observasjoner. Da kan du regne deg frem.

En rørlegger sender to fakturaer: en jobb på 2 timer kostet 1 850 kr, og en jobb på 5 timer kostet 3 950 kr. Hva er timeprisen, og hva tar han i fast oppmøtegebyr?

Stigningstallet finner vi med formelen

$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3\,950 - 1\,850}{5 - 2} = \frac{2\,100}{3} = 700$

Timeprisen er altså 700 kr. Konstantleddet finner vi ved å sette inn ett av punktene: ved 2 timer er prisen $1\,850$ kr, og av dette utgjør timene $2 \cdot 700 = 1\,400$ kr. Da må $b = 1\,850 - 1\,400 = 450$ kr — oppmøtegebyret. Prisfunksjonen er dermed $P(x) = 700x + 450$ .

Slik kan du «avsløre» prisstrukturen til enhver håndverker eller leverandør ut fra bare to fakturaer. Og når funksjonen først er på plass, kan du regne fremover: en jobb på 8 timer vil koste $P(8) = 700 \cdot 8 + 450 = 6\,050$ kr.

Det samme gjelder strømregningen fra forrige seksjon: med $K(x) = 1{,}20x + 450$ og et forbruk på 1 800 kWh blir regningen $K(1800) = 1{,}20 \cdot 1800 + 450 = 2\,160 + 450 = 2\,610$ kr. Grafen til en lineær funksjon er alltid en rett linje — derfor holder det faktisk med to punkter for å kjenne hele linjen.

Oppsummering

Fra Adrians timelønn til rørleggerens fakturaer har vi sett det samme mønsteret: en lineær funksjon $f(x) = ax + b$ beskriver alt som vokser eller minker jevnt, og grafen er alltid en rett linje.

Stigningstallet $a$ er endringen per enhet — kroner per time, kroner per kWh, liter per mil. Positivt stigningstall gir en stigende linje, negativt en synkende, og $a = 0$ gir en vannrett linje. Konstantleddet $b$ er startverdien, altså verdien når $x = 0$ — i praksis fastprisen, oppmøtegebyret eller nettleia som påløper uansett.

Har du to punkter, finner du stigningstallet med $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , og deretter konstantleddet ved å sette inn ett av punktene. Slik avslørte vi at rørleggeren tar 700 kr timen pluss 450 kr i oppmøte.

Neste gang du ser en prisliste med «fastpris pluss pris per enhet», vet du nøyaktig hva du ser: en lineær funksjon som bare venter på å bli regnet på.