12.1 Tallsystemer

Tre språk, samme tall

På storkjøkkenet måler kokken opp $\displaystyle \frac{3}{4}$ liter melk. På byggeplassen kapper snekkeren en list på 0,75 m. I butikkvinduet roper plakaten «75 % rabatt!». Tre helt ulike situasjoner – men tallet er nøyaktig det samme. Brøk, desimaltall og prosent er tre språk for én og samme ting: en del av en helhet. Og i arbeidslivet må du kunne veksle flytende mellom dem.

En brøk $\displaystyle \frac{a}{b}$ betyr «$a$ deler av $b$». Omregningene går slik: Fra brøk til desimaltall deler du teller på nevner: $\displaystyle \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$. Fra desimaltall til prosent ganger du med 100: $0{,}75 \cdot 100 = 75\,\%$. Andre veien deler du på 100: $75\,\% = 0{,}75$. Og fra prosent til brøk skriver du over 100 og forkorter: $\displaystyle 75\,\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Prøv selv med $\displaystyle \frac{2}{5}$: $2 \div 5 = 0{,}4 = 40\,\%$. Sirkelen er sluttet.

I denne fortellingen går vi først inn på kjøkkenet og lærer brøkregningens fire regnearter – og deretter til butikkene og verkstedene, der prosentregning med vekselfaktor avslører hvorfor «25 % pluss 10 % rabatt» ikke er det samme som 35 %.

Brøkregning på kjøkkenet

Kokken Leo skal lage 6 porsjoner av en oppskrift beregnet på 4 – og oppskriften krever $\displaystyle \frac{3}{4}$ liter melk. Her trengs brøkregning, så la oss ta reglene i tur og orden.

Addisjon og subtraksjon krever felles nevner. Med lik nevner legger du bare sammen tellerne: $\displaystyle \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$. Med ulike nevnere må du utvide først: $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$. Tenk på det som enheter: tredjedeler og fjerdedeler kan ikke summeres direkte, like lite som meter og tommer – de må først over på samme «enhet», tolvtedeler.

Multiplikasjon er enklest: teller ganger teller, nevner ganger nevner: $\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$. Divisjon gjøres ved å gange med den omvendte brøken: $\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

Nå kan Leo regne. Melk per porsjon: $\displaystyle \frac{3}{4}$ liter delt på 4, altså $\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$ liter. For 6 porsjoner: $\displaystyle 6 \cdot \frac{3}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$ liter – som desimaltall 1,125 liter. Legg merke til avslutningen: brøken forkortes ($\displaystyle \frac{18}{16}$ til $\displaystyle \frac{9}{8}$), og svaret oversettes til den formen som er mest praktisk ved kjøleskapet – desimaltall.

Samme teknikk skalerer alle oppskrifter: trenger du $\displaystyle \frac{3}{4}$ kg mel til 8 boller og skal lage 20, blir det $\displaystyle \frac{20}{8} \cdot \frac{3}{4} = \frac{60}{32} = \frac{15}{8}$ kg, altså 1 875 gram.

Rabatter, påslag og den misvisende plakaten

Fra kjøkkenet til kassen. Prosent er arbeidslivets foretrukne språk for prisendringer, og nøkkelen til rask og feilfri regning heter vekselfaktor (vekstfaktor): tallet du ganger med.

Ved rabatt ganger du med $1 -$ rabatten som desimaltall: 20 % rabatt på 500 kr gir $500 \cdot (1 - 0{,}20) = 500 \cdot 0{,}80 = 400$ kr. Ved påslag eller prisøkning ganger du med $1 +$ prosenten: 25 % påslag betyr faktor 1,25. Dette er raskere enn å regne ut rabatten først og trekke fra – og viktigere: faktorene kan kjedes.

Byggvarehandelen gir 15 % rabatt på bestillinger over 10 000 kr, og snekkeren handler for 14 800 kr. Rabatten er $14\,800 \cdot 0{,}15 = 2\,220$ kr, og prisen etter rabatt $14\,800 - 2\,220 = 12\,580$ kr – eller direkte: $14\,800 \cdot 0{,}85 = 12\,580$ kr.

Så til plakaten som lurer mange: «25 % rabatt på alt – og 10 % ekstra for medlemmer!» En jakke til 1 200 kr: etter første rabatt $1\,200 \cdot 0{,}75 = 900$ kr, etter medlemsrabatten $900 \cdot 0{,}90 = 810$ kr. Totalt har kunden spart $1\,200 - 810 = 390$ kr, altså $\displaystyle \frac{390}{1200} = 32{,}5\,\%$ – ikke 35 %! Grunnen ser du i faktorene: $0{,}75 \cdot 0{,}90 = 0{,}675$, en samlet rabatt på 32,5 %. Den andre rabatten regnes av en allerede nedsatt pris, så prosentene kan ikke bare adderes. Samme felle gjelder andre veien: to påslag på 10 % gir $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$ – 21 %, ikke 20. Vekselfaktoren holder orden der hoderegningen feiler.

Flytende i alle tre språk

Kokken, snekkeren og butikkplakaten snakket samme tall hele tiden: $\displaystyle \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%$. Du veksler nå fritt mellom språkene – teller delt på nevner gir desimaltall, gange med 100 gir prosent, og prosenten skrives over 100 og forkortes tilbake til brøk.

Brøkregningens fire regler sitter: felles nevner ved addisjon og subtraksjon (tredjedeler og fjerdedeler må over på tolvtedeler først), teller ganger teller og nevner ganger nevner ved multiplikasjon, og ved divisjon ganger du med den omvendte brøken. Slik ble $\displaystyle \frac{3}{4}$ liter melk til 4 porsjoner skalert opp til $\displaystyle \frac{9}{8} = 1{,}125$ liter til 6 – og brøkdelen av et tall, som $\displaystyle \frac{3}{4}$ av 60, er bare multiplikasjon: 45.

Og i prisenes verden hersker vekselfaktoren: $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$ ved rabatt, $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$ ved påslag – og faktorene ganges når endringene kommer etter hverandre. Derfor er 25 % pluss 10 % rabatt bare 32,5 % ($0{,}75 \cdot 0{,}90 = 0{,}675$), og to tiprosenter i rabatt gir 19, ikke 20. Enten du skalerer en oppskrift, priser materialer eller gjennomskuer et «supertilbud»: velg det tallspråket som passer situasjonen, og la vekselfaktoren gjøre prosentjobben.