11.1 Boksplott og kvartiler

Sjefens tidsstudie

Elektrikersjefen har et problem: noen serviceoppdrag tar dobbelt så lang tid som andre, og hun vil finne ut hva som er normalt. Hun har registrert tidsforbruket for elleve like oppdrag, i minutter: $45, 52, 38, 60, 42, 55, 48, 65, 40, 50, 58$. En lang tallrekke gir ikke oversikt — hun trenger et bilde av dataene.

Verktøyet hun griper til, heter boksplott (box plot). Det er en kompakt tegning som viser tre ting på én gang: hvor dataene ligger (sentrum), hvor spredt de er, og om det finnes ekstreme verdier som skiller seg ut. Nettopp derfor er boksplott mye brukt i kvalitetskontroll, HMS-rapportering og lønnsstatistikk — alle steder der man skal sammenligne grupper av tall raskt.

For å tegne et boksplott trenger vi fem tall fra datasettet: den minste verdien, den største, og tre verdier som deler de sorterte dataene i fire like store deler — de såkalte kvartilene (av samme ord som «kvart», en fjerdedel). I dette kapittelet lærer du å finne disse fem tallene, tegne og lese boksplott, avsløre uteliggere — og til slutt bruke det hele til å sammenligne to arbeidslag, slik en sjef faktisk gjør.

Fem tall som beskriver alt — kvartilene

Vi hjelper sjefen, steg for steg. Steg 1: sorter dataene fra minst til størst: $38, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 58, 60, 65$.

Steg 2: finn medianen. Medianen ($Q2$) er verdien i midten av det sorterte datasettet — halvparten av målingene ligger under, halvparten over. Med elleve verdier er det nummer seks i rekken: $50$ minutter. Et «normalt» oppdrag tar altså rundt $50$ minutter.

Steg 3: finn nedre kvartil, $Q1$ — medianen av den nedre halvdelen. Nedre halvdel er $38, 40, 42, 45, 48$, og midtverdien der er $42$. Det betyr at $25\,\%$ av oppdragene tar under $42$ minutter.

Steg 4: finn øvre kvartil, $Q3$ — medianen av den øvre halvdelen: $52, 55, 58, 60, 65$ har midtverdi $58$. Hele $75\,\%$ av oppdragene ligger under $58$ minutter.

Steg 5: noter minste og største verdi, $38$ og $65$. Dermed har sjefen sin fempunktsoppsummering: min $38$, $Q1 = 42$, median $50$, $Q3 = 58$, maks $65$.

Boksplottet tegnes rett fra disse fem tallene: en boks fra $Q1$ til $Q3$ (fra $42$ til $58$), en strek inni boksen ved medianen $50$, og «haler» ut til minste og største verdi. Boksen rommer de midterste $50\,\%$ av oppdragene — ett blikk, og du ser både normaltiden og variasjonen.

Kvartilbredde og uteliggere — hvor spredt, og hva stikker seg ut?

Nå som boksen er tegnet, kan sjefen tallfeste spredningen. Kvartilbredden (IQR, interquartile range) er avstanden mellom kvartilene: $\text{IQR} = Q3 - Q1 = 58 - 42 = 16$ minutter. Det er bredden på selve boksen, og den forteller hvor mye de midterste $50\,\%$ av oppdragene varierer. En smal boks betyr jevn arbeidsflyt; en bred boks betyr store forskjeller fra oppdrag til oppdrag.

Kvartilbredden har enda en jobb: den hjelper oss å avsløre uteliggere (outliers) — observasjoner som er mistenkelig store eller små sammenlignet med resten. Kanskje en måling er feilregistrert, eller kanskje ett oppdrag gikk fullstendig av skaftet. Tommelregelen er slik: en verdi regnes som uteligger hvis den er mindre enn $Q1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ eller større enn $Q3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$.

For sjefens datasett blir grensene $42 - 1{,}5 \cdot 16 = 42 - 24 = 18$ og $58 + 1{,}5 \cdot 16 = 58 + 24 = 82$ minutter. Alle målingene ligger mellom $38$ og $65$, trygt innenfor — ingen uteliggere her, bare naturlig variasjon.

Hadde et oppdrag tatt $95$ minutter, ville det havnet utenfor grensen på $82$ og blitt tegnet som et eget punkt utenfor halen på boksplottet. Det er slik uteliggere markeres: de skilles ut i stedet for å strekke halen, nettopp for at ett ekstremt tilfelle ikke skal gi et misvisende bilde av helheten. For sjefen er en uteligger uansett verdt en oppfølging: var det kunden, utstyret — eller føringen av timelisten?

To lag, to bokser — sammenligning i praksis

Boksplottets virkelige styrke viser seg når flere grupper skal sammenlignes. På lageret registrerer to arbeidslag antall pakker de pakker per time. Lag A: $22, 25, 28, 30, 31, 33, 35, 38$. Lag B: $18, 24, 26, 29, 30, 32, 34, 42$. Hvem er best?

Begge settene har åtte verdier, og med et partall observasjoner er medianen gjennomsnittet av de to midterste. For Lag A: $\displaystyle \frac{30 + 31}{2} = 30{,}5$. $Q1$ er medianen av nedre halvdel $(22, 25, 28, 30)$: $\displaystyle \frac{25 + 28}{2} = 26{,}5$, og $Q3$ av øvre halvdel $(31, 33, 35, 38)$: $\displaystyle \frac{33 + 35}{2} = 34$. Fempunktene blir $22$, $26{,}5$, $30{,}5$, $34$, $38$.

Samme jobb for Lag B gir: min $18$, $\displaystyle Q1 = \frac{24 + 26}{2} = 25$, median $\displaystyle \frac{29 + 30}{2} = 29{,}5$, $\displaystyle Q3 = \frac{32 + 34}{2} = 33$, maks $42$.

Tegner vi de to boksplottene over samme tallinje, kommer historien frem. Lag A har høyest median ($30{,}5$ mot $29{,}5$) — de presterer jevnt over litt bedre. Lag A er også jevnest: IQR er $34 - 26{,}5 = 7{,}5$ mot Lag Bs $33 - 25 = 8$, og hele spennet er smalere. Lag B har riktignok toppnoteringen ($42$ pakker), men også bunnoteringen ($18$) — de svinger mer.

Hva sjefen gjør med det, er en ledelsesbeslutning: kanskje skal Lag B lære jevnheten av Lag A, kanskje skyldes svingningene ulike skift eller varetyper. Men beslutningen hviler på et ærlig bilde av dataene — og det er nettopp det boksplottet leverer: plassering, spredning og ytterpunkter, side om side.

Oppsummering: oversikt i én tegning

Sjefens tallkaos ble til innsikt gjennom fem tall og én tegning. Medianen ($Q2$) deler det sorterte datasettet i to like halvdeler. Nedre kvartil $Q1$ er medianen av nedre halvdel — $25\,\%$ av dataene ligger under den. Øvre kvartil $Q3$ er medianen av øvre halvdel, med $75\,\%$ av dataene under seg. Sammen med minste og største verdi utgjør de fempunktsoppsummeringen, som tegnes som et boksplott: boks fra $Q1$ til $Q3$, medianstrek inni, haler ut til ytterpunktene.

Kvartilbredden $\text{IQR} = Q3 - Q1$ måler spredningen til de midterste $50\,\%$ — for serviceoppdragene var den $16$ minutter. Og tommelregelen for uteliggere sier at verdier utenfor intervallet fra $Q1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ til $Q3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ skal markeres som egne punkter og undersøkes nærmere.

Husk også detaljene fra utregningen: sorter alltid først, og ved partall observasjoner er medianen gjennomsnittet av de to midterste verdiene.

Størst nytte gjør boksplottet når grupper skal sammenlignes — som da Lag A viste seg jevnest og best på median, mens Lag B svingte mellom rekord og bunnotering. Plassering, spredning og ytterpunkter i ett blikk: det er derfor boksplottet er fast inventar i kvalitetskontroll, HMS-arbeid og lønnsstatistikk.