6.1 Matematisk modellering

Virkeligheten i tall

Du jobber i en kommune, og sjefen din spør: "Hvor mye avfall vil vi ha i 2030?" Du har tallene for 2020 og 2024, men ikke for 2030. Hvordan svarer du? Du kan ikke reise i tid. Du kan ikke gjette. Men du kan gjøre noe annet -- du kan lage en matematisk modell.

Matematisk modellering handler om å bruke matematikk til å beskrive, forstå og forutsi hendelser i den virkelige verden. En matematisk modell er en forenklet beskrivelse av virkeligheten uttrykt med matematisk språk -- en formel, en funksjon, en ligning. Den kan aldri gi et helt eksakt bilde av virkeligheten, men den kan gi oss nyttige svar og innsikt.

Modellering er overalt rundt oss. Meteorologer bruker matematiske modeller for å lage værmeldinger. Epidemiologer modellerer spredningen av sykdommer. Økonomer modellerer vekst og resesjon. Og du, i matematikk 2P, kan bruke modellering til å forstå alt fra befolkningsvekst til bakteriekulturer, fra strømmetjenester til softissalg.

Modelleringsprosessen -- fem steg til svaret

Å lage en god matematisk modell er ikke bare å sette opp en formel. Det er en prosess med fem steg, og hvert steg er like viktig.

Steg 1: Forstå problemet. Hva er det vi vil finne ut? Hvilke data har vi? I kommuneeksempelet vet vi at avfallsmengden var 1 200 tonn i 2020 og 1 350 tonn i 2024. Vi vil predikere mengden i 2030.

Steg 2: Forenkle. Virkeligheten er kompleks. Vi kan ikke ta hensyn til alt -- befolkningsendringer, resirkuleringskampanjer, nye regler. Vi velger å anta at veksten er jevn, enten lineær eller prosentvis lik.

Steg 3: Modellere. Nå setter vi opp selve modellen. En lineær modell gir oss en vekst per år på $\displaystyle \frac{1\,350 - 1\,200}{4} = 37{,}5$ tonn per år, altså $f(x) = 37{,}5x + 1\,200$ der $x$ er år etter 2020. En eksponentiell modell gir oss $g(x) = 1\,200 \cdot 1{,}030^x$, fordi vekstfaktoren per år er $b = (1{,}125)^{0{,}25} \approx 1{,}030$, altså omtrent 3 prosent per år.

Steg 4: Løse. For 2030 ($x = 10$) gir den lineære modellen $f(10) = 37{,}5 \cdot 10 + 1\,200 = 1\,575$ tonn. Den eksponentielle gir $g(10) = 1\,200 \cdot 1{,}030^{10} \approx 1\,613$ tonn.

Steg 5: Vurdere. Er disse svarene rimelige? For kort fremtid er forskjellen liten. Vi bør sjekke med flere datapunkter for å avgjøre hvilken modell som passer best. Og vi bør tenke over om forutsetningene er realistiske -- vil veksten virkelig fortsette i samme tempo?

Lineær eller eksponentiell -- hvordan velge?

Nå vet du at du kan bruke enten en lineær eller en eksponentiell modell. Men hvordan avgjør du hvilken som passer best? Her er nøkkelen.

En lineær modell har formen $f(x) = ax + b$ og brukes når endringen per periode er tilnærmet konstant. Tenk fast lønnsøkning i kroner: du får 10 000 kroner mer hvert år, uansett hva du tjener fra før. Grafen er en rett linje.

En eksponentiell modell har formen $f(x) = a \cdot b^x$ og brukes når endringen per periode er en fast prosent av nåværende verdi. Tenk rentes rente: 5 prosent av en stor sum er mer enn 5 prosent av en liten sum, så beløpet vokser raskere og raskere. Grafen er en kurve som vokser stadig brattere (eller avtar stadig saktere).

Hvordan avgjør du i praksis? Se på dataene dine. Beregn differansene mellom påfølgende verdier: er de omtrent like, er modellen lineær. Beregn forholdstallene mellom påfølgende verdier: er de omtrent like, er modellen eksponentiell. La oss ta et eksempel med en bakteriekultur: 100, 150, 225, 338, 506. Differansene er 50, 75, 113, 168 -- absolutt ikke konstante. Men forholdstallene er $150/100 = 1{,}50$, $225/150 = 1{,}50$, $338/225 = 1{,}50$, $506/338 = 1{,}50$. Alle er 1,50. Modellen er altså $f(t) = 100 \cdot 1{,}50^t$, med 50 prosent vekst per time.

Noen ganger passer ingen av delene helt. Strømprisen for eksempel varierer sesongmessig -- høy om vinteren, lav om sommeren -- og krever en helt annen type modell, en periodisk modell. Det er viktig å innse at ikke alt lar seg fange med en rett linje eller en eksponentialkurve.

Praktisk modellering -- fra kopp til kommune

Matematisk modellering er ikke bare teori. La oss se på noen konkrete situasjoner og hvordan du oversetter dem til matematikk.

Du setter en kopp med vann i mikrobølgeovnen. Temperaturen øker jevnt med 15 grader Celsius per minutt, og vannet starter på 20 grader. Siden økningen er konstant, er dette en lineær modell: $T(t) = 15t + 20$, der $T$ er temperaturen og $t$ er tiden i minutter. Når blir vannet 100 grader? Vi løser: $15t + 20 = 100$, som gir $t = 80/15 \approx 5{,}3$ minutter, altså rundt 5 minutter og 20 sekunder. Men pass på -- modellen er en forenkling. I virkeligheten vil oppvarmingen bremse når temperaturen nærmer seg kokepunktet, så den lineære modellen gir et litt for optimistisk svar.

Hva med noe mer komplekst? Tenk på en bedrift der omsetningen har vokst fra 5,0 millioner i 2019 til 6,5 millioner i 2023. En lineær modell gir stigningstall $a = (6{,}5 - 5{,}0)/4 = 0{,}375$ mill per år, altså $f(x) = 0{,}375x + 5{,}0$ (der $x = 0$ for 2019). For 2027 ($x = 8$) gir modellen $f(8) = 0{,}375 \cdot 8 + 5{,}0 = 8{,}0$ millioner. Er det rimelig? Kanskje, hvis trenden fortsetter. Men vi har kun data for 5 år, og markedsforhold kan endre seg. Ekstrapolering fire år frem er alltid usikkert.

Hovedpoenget er at modellering handler like mye om vurdering som om beregning. En formel gir deg et tall, men det er du som må avgjøre om tallet er fornuftig.

Vurdere og kritisere modeller -- den viktigste ferdigheten

Enhver modell er en forenkling. Den fanger noen trekk ved virkeligheten, men aldri alt. Og jo lenger ut i fremtiden du bruker den, desto mer usikker blir den. Å vurdere modellen er derfor like viktig som å sette den opp.

Her er spørsmålene du bør stille. For det første: passer modellen til dataene? Sammenlign modellens verdier med de faktiske verdiene. Hvis avviket er stort, er modellen kanskje ikke god nok. For det andre: er modellen rimelig utenfor dataintervallet? Her er skillet mellom interpolasjon og ekstrapolering avgjørende. Interpolasjon betyr å beregne verdier mellom kjente datapunkter, og det er relativt pålitelig. Ekstrapolering betyr å beregne verdier utenfor kjente datapunkter, og det er mye mer usikkert.

For det tredje: hva er modellens begrensninger? Ingen modell gjelder for alltid. En eksponentiell vekstmodell for en strømmetjeneste vil til slutt spå at hele verdens befolkning abonnerer -- det er åpenbart urealistisk. For det fjerde: er forutsetningene realistiske? Når vi antar "jevn vekst," forutsetter vi at ingenting endrer seg -- ingen konkurrenter, ingen kriser, ingen teknologiske gjennombrudd. Det er sjelden tilfellet.

Tenk deg en softisbedrift med 50 000 kr i inntekt i juni 2023 og 65 000 kr i juni 2024. Når når de 100 000 kr? En lineær modell gir $x \approx 3{,}3$ år (september 2026), en eksponentiell modell gir $x \approx 2{,}6$ år (januar 2026). Men husk at softissalg er sesongbasert -- modellen beskriver kanskje bare junimåneder. Og 30 prosent årlig vekst er vanskelig å opprettholde over tid. Konteksten er alt.

Fra elsparkesykler til befolkningsvekst

For å avslutte, la oss se på et eksempel som viser at virkeligheten ofte er mer nyansert enn modellene våre. En by registrerer antall elsparkesykler: 200 etter én måned, 520 etter tre, 1 100 etter seks, 1 600 etter ni og 1 900 etter tolv. Differansene er 320, 580, 500 og 300 -- de er ikke konstante, men ser ut til å avta. Forholdstallene er 2,6 -- 2,12 -- 1,45 -- 1,19, som også avtar. Verken lineær eller eksponentiell modell passer helt.

Det som skjer er noe vi ser overalt i virkeligheten: veksten flater ut. Først vokser antallet raskt, men etterhvert mettes markedet -- alle som vil ha en elsparkesykkel, har fått en. Denne typen vekst kalles logistisk vekst og har en S-formet kurve. Den starter eksponentielt, men bremser og nærmer seg et tak. I 2P trenger du ikke beherske logistiske modeller, men du bør kjenne igjen fenomenet: en vekst som avtar over tid.

Befolkningsvekst følger ofte et lignende mønster. I starten vokser en populasjon eksponentielt, men begrensede ressurser bremser veksten. Spredning av informasjon i sosiale medier starter eksponentielt, men flater ut når alle har fått nyheten. Vannstand i en beholder med jevn fylling er derimot lineær, og temperaturendring følger ofte en eksponentiell nedkjøling. Modellering handler om å gjenkjenne disse mønstrene og velge riktig verktøy for jobben.

Det viktigste du tar med deg fra dette kapittelet er at en modell alltid er en forenkling. Den er et kart, ikke terrenget. Og akkurat som et kart, er den nyttig så lenge du husker at den ikke viser alt.

Oppsummering

Matematisk modellering er kunsten å oversette den virkelige verden til matematikk og tilbake igjen. Det er en prosess i fem steg: forstå problemet, forenkle, modellere, løse og vurdere.

Lineær modell ($f(x) = ax + b$) brukes når endringen per periode er tilnærmet konstant -- sjekk om differansene mellom påfølgende verdier er omtrent like. Eksponentiell modell ($f(x) = a \cdot b^x$) brukes når endringen er en fast prosent -- sjekk om forholdstallene mellom påfølgende verdier er omtrent like.

Det viktigste du tar med deg er at alle modeller er forenklinger. Interpolasjon (beregne verdier mellom kjente data) er pålitelig, mens ekstrapolering (beregne utenfor kjente data) er usikkert. Vurder alltid om modellens forutsetninger er realistiske, og husk at konteksten avgjør om svaret gir mening.