1.6 Prosent, prosentpoeng og vekstfaktor

Prosent av et tall, prosentvis endring, prosentpoeng, vekstfaktor, flere endringer etter hverandre og prosent i økonomi.

75 min

27 oppgaver

ProsentProsentvis endringProsentpoengVekstfaktorFlere endringerMerverdiavgift

Din fremgang i kapitlet

0 / 27 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.7Indeks, kroneverdi og reallønn

Prosent, prosentpoeng og vekstfaktor

Prosent brukes overalt der noe sammenliknes eller endres: priser, lønn, renter, valgresultater og statistikk. I dette kapittelet ser vi på

- prosent av et tall og andel i prosent
- prosentvis endring
- forskjellen på prosent og prosentpoeng
- vekstfaktor, og hvordan vi finner ny verdi og opprinnelig verdi
- flere prosentvise endringer etter hverandre
- prosent i økonomi: merverdiavgift, rabatt og påslag

Prosent og andel

1\,\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01

✏️Eksempel 1: Prosent av et tall og andel i prosent

a) Hvor mye er $15\,\%$ av $3\,400$ kr?

b) På en skole har $168$ av $240$ elever i VG2 deltidsjobb. Hvor mange prosent er det?

$\frac{15}{100} \cdot 3\,400 = 0{,}15 \cdot 3\,400 = 510$

Svar: $15\,\%$ av $3\,400$ kr er $510$ kr.

$\frac{168}{240} \cdot 100\,\% = 0{,}70 \cdot 100\,\% = 70\,\%$

Svar: $70\,\%$ av elevene har deltidsjobb.

✏️Eksempel 2: Finne det hele

På en fjelltur gikk $85\,\%$ av deltakerne hele veien til toppen. $6$ deltakere snudde underveis. Hvor mange deltakere var med på turen?

De som snudde, utgjør

100\,\% - 85\,\% = 15\,\%

$0{,}15 \cdot G = 6$

$G = \frac{6}{0{,}15} = 40$

Kontroll: $0{,}85 \cdot 40 = 34$ og $34 + 6 = 40$ .

Svar: $40$ deltakere var med på turen.

📝Oppgave 1

Regn ut uten digitale hjelpemidler.

Hvor mye er $30\,\%$ av $860$ ?

Hvor mye er $7{,}5\,\%$ av $2\,400$ kr?

Hvor mye er $125\,\%$ av $64$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

I en klasse er det $28$ elever. $21$ av dem har førerkort for moped eller bil.

Hvor mange prosent av elevene har førerkort?

Hvor mange prosent av elevene har ikke førerkort?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

På en konsert var $1\,440$ seter i salen opptatt. Det var $96\,\%$ av setene.

Hvor mange seter er det i salen?

Hvor mange seter var ledige?

Løs oppgaven

Prosentvis endring

\begin{aligned} &\text{prosentvis endring} \\ = {}&\frac{\text{ny verdi} - \text{opprinnelig verdi}}{\text{opprinnelig verdi}} \cdot 100\,\% \end{aligned}

✏️Eksempel 3: Prosentvis økning og nedgang

a) Prisen på et månedskort økte fra $240$ kr til $282$ kr. Hvor mange prosent økte prisen med?

b) Verdien av en brukt mobil sank fra $640$ kr til $512$ kr på ett år. Hvor mange prosent sank verdien med?

$282 - 240 = 42$

$\frac{42}{240} \cdot 100\,\% = 17{,}5\,\%$

Svar: Prisen økte med $17{,}5\,\%$ .

$512 - 640 = -128$

$\frac{-128}{640} \cdot 100\,\% = -20\,\%$

Svar: Verdien sank med $20\,\%$ .

📝Oppgave 4

Finn den prosentvise endringen.

Prisen på en vare går fra $250$ kr til $290$ kr.

Antall besøkende går fra $1\,200$ til $1\,020$ .

Antall abonnenter går fra $80$ til $200$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

En butikk selger yoghurt i to tilbud: $3$ begre for $105$ kr eller $5$ begre for $150$ kr.

Finn prisen per beger i hvert tilbud.

Hvor mange prosent lavere er prisen per beger i 5-pakningen enn i 3-pakningen?

Hvor mange prosent høyere er prisen per beger i 3-pakningen enn i 5-pakningen? Forklar hvorfor svaret ikke blir det samme som i b).

Løs oppgaven

Prosent og prosentpoeng

2\,\%

✏️Eksempel 4: Rente og oppslutning

a) Renten på et boliglån økte fra $2{,}5\,\%$ til $3{,}0\,\%$ . Hvor mange prosentpoeng og hvor mange prosent økte renten med?

b) Et parti fikk $12\,\%$ av stemmene ved ett valg og $15\,\%$ ved neste. Hvor mange prosentpoeng og hvor mange prosent økte oppslutningen med?

$3{,}0 - 2{,}5 = 0{,}5$

$\frac{0{,}5}{2{,}5} \cdot 100\,\% = 20\,\%$

Svar: Renten økte med $0{,}5$ prosentpoeng, som er en økning på $20\,\%$ .

$15 - 12 = 3$

$\frac{3}{12} \cdot 100\,\% = 25\,\%$

Svar: Oppslutningen økte med $3$ prosentpoeng, som er en økning på $25\,\%$ .

Vanlige feller

- «Renten økte med $0{,}5\,\%$ » er feil når renten går fra $2{,}5\,\%$ til $3{,}0\,\%$ . Riktig er $0{,}5$ prosentpoeng, eller $20\,\%$ .
- Prosentpoeng brukes bare når det som endres, selv er et prosenttall (rente, andel, oppslutning, ledighet).
- Prosent sier ikke alene noe om antall. Et parti kan få flere stemmer selv om oppslutningen i prosent går ned, hvis det er flere som stemmer totalt.

📝Oppgave 6

Arbeidsledigheten i en kommune gikk ned fra $4{,}0\,\%$ til $3{,}2\,\%$ .

Hvor mange prosentpoeng gikk ledigheten ned?

Hvor mange prosent gikk ledigheten ned?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Familien Berg har et boliglån på $2\,000\,000$ kr. Banken øker renten fra $4{,}5\,\%$ til $4{,}75\,\%$ . Vi ser bort fra nedbetaling.

Hvor mange prosentpoeng økte renten med?

Hvor mange prosent økte renten med?

Hvor mye mer må familien betale i renter per år?

En avis skrev: «Renten økte med 0,25 prosent.» Hva burde det ha stått?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Et parti fikk $18{,}0\,\%$ av stemmene ved ett stortingsvalg og $13{,}5\,\%$ ved neste. Tallene er tenkte.

Hvor mange prosentpoeng gikk partiet tilbake?

Hvor mange prosent gikk oppslutningen tilbake?

Ved det siste valget ble det avgitt $2\,900\,000$ godkjente stemmer. Hvor mange stemmer fikk partiet?

Løs oppgaven

📜Vekstfaktor

Når en verdi

G

øker med

p\,\%

, legger vi

p\,\%

G

til

G

$G + \frac{p}{100} \cdot G = G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Når verdien minker med $p\,\%$ , trekker vi fra:

$G - \frac{p}{100} \cdot G = G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

Tallet vi ganger med, kalles vekstfaktoren $v$ :

$\text{ny verdi} = \text{opprinnelig verdi} \cdot v$

Endring	Vekstfaktor
økning på $12\,\%$	$1 + 0{,}12 = 1{,}12$
nedgang på $8\,\%$	$1 - 0{,}08 = 0{,}92$
økning på $150\,\%$	$1 + 1{,}50 = 2{,}5$
nedgang på $0{,}5\,\%$	$1 - 0{,}005 = 0{,}995$

Motsatt vei: Vekstfaktoren

0{,}85

betyr en nedgang på

15\,\%

, og

1{,}035

betyr en økning på

3{,}5\,\%

. Er

v > 1

, er det en økning; er

v < 1

, er det en nedgang.

✏️Eksempel 5: Finne ny verdi med vekstfaktor

a) En månedslønn på $12\,400$ kr for en deltidsjobb øker med $6\,\%$ . Hva blir den nye lønnen?

b) En sykkel til $18\,000$ kr selges med $35\,\%$ rabatt. Hva er tilbudsprisen?

$v = 1 + 0{,}06 = 1{,}06$

$12\,400 \cdot 1{,}06 = 13\,144$

Svar: Den nye lønnen er $13\,144$ kr.

$v = 1 - 0{,}35 = 0{,}65$

$18\,000 \cdot 0{,}65 = 11\,700$

Svar: Tilbudsprisen er $11\,700$ kr.

✏️Eksempel 6: Finne opprinnelig verdi

En jakke koster $1\,360$ kr etter $20\,\%$ rabatt. Hva kostet jakken før rabatten?

v = 1 - 0{,}20 = 0{,}80

$G \cdot 0{,}80 = 1\,360$

$G = \frac{1\,360}{0{,}80} = 1\,700$

Kontroll: $1\,700 \cdot 0{,}80 = 1\,360$ .

Svar: Jakken kostet $1\,700$ kr før rabatten.

Baklengs: del på vekstfaktoren

Rabatten på $20\,\%$ er regnet av den opprinnelige prisen, ikke av $1\,360$ kr. Å legge $20\,\%$ til $1\,360$ kr gir $1\,360 \cdot 1{,}20 = 1\,632$ kr, som er feil. Fra ny verdi tilbake til opprinnelig verdi deler vi alltid på vekstfaktoren:

$\text{opprinnelig verdi} = \frac{\text{ny verdi}}{v}$

📝Oppgave 9

Finn vekstfaktoren eller den prosentvise endringen.

Økning på $14\,\%$ . Finn vekstfaktoren.

Nedgang på $6\,\%$ . Finn vekstfaktoren.

Vekstfaktoren er $1{,}025$ . Finn den prosentvise endringen.

Vekstfaktoren er $0{,}7$ . Finn den prosentvise endringen.

Økning på $200\,\%$ . Finn vekstfaktoren.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Bruk vekstfaktor til å finne den nye verdien.

En pris på $4\,800$ kr øker med $15\,\%$ .

En verdi på $3\,750$ kr synker med $24\,\%$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Finn den opprinnelige verdien.

Etter en prisøkning på $25\,\%$ koster en vare $4\,500$ kr. Hva kostet varen før økningen?

Etter $15\,\%$ rabatt koster en vare $2\,125$ kr. Hva var prisen før rabatten?

Antall reisende med en ny bussrute økte med $250\,\%$ fra første til andre driftsår, til $42\,000$ . Hvor mange reiste med ruten det første året?

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Ida fikk et lønnstillegg på $2{,}5\,\%$ . Det ga $1\,150$ kr mer i månedslønn.

Hva var månedslønnen hennes før tillegget?

Hvor mange kroner hadde tillegget vært om det hadde vært $4\,\%$ ?

Løs oppgaven

📜Flere endringer etter hverandre

Endres en verdi først med vekstfaktoren

v_1

og deretter med

v_2

, ganger vi med begge:

$\text{ny verdi} = G \cdot v_1 \cdot v_2$

Den samlede vekstfaktoren er $v_1 \cdot v_2$ . Prosentene kan ikke legges sammen, fordi den andre endringen regnes av en annen grunnverdi enn den første.

✏️Eksempel 7: Først opp 20 %, så ned 20 %

En vare koster $500$ kr. Prisen settes først opp med $20\,\%$ og deretter ned med $20\,\%$ . Hva koster varen nå, og hva er den samlede prosentvise endringen?

500 \cdot 1{,}20 = 600

$600 \cdot 0{,}80 = 480$

$v = 1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96$

$0{,}96 - 1 = -0{,}04 = -4\,\%$

Svar: Varen koster $480$ kr. Samlet har prisen gått ned med $4\,\%$ .

✏️Eksempel 8: Samlet prosentvis endring

Prisen på strøm økte med $5\,\%$ det første året og med $8\,\%$ det andre året, og sank med $10\,\%$ det tredje året. Finn den samlede prosentvise endringen over de tre årene.

v = 1{,}05 \cdot 1{,}08 \cdot 0{,}90 = 1{,}0206

$1{,}0206 - 1 = 0{,}0206 = 2{,}06\,\%$

Svar: Samlet økte prisen med om lag $2{,}1\,\%$ (ikke $5 + 8 - 10 = 3\,\%$ ).

📝Oppgave 13

En vare koster $800$ kr.

Prisen settes opp med $25\,\%$ og deretter ned med $20\,\%$ . Hva koster varen etterpå?

Prisen settes i stedet ned med $20\,\%$ og deretter opp med $20\,\%$ . Hva koster varen nå, og hva er den samlede endringen i prosent?

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Et aksjefond steg $12\,\%$ det første året, sank $8\,\%$ det andre året og steg $5\,\%$ det tredje året.

Finn den samlede prosentvise endringen over de tre årene.

Martin satte inn $50\,000$ kr i fondet ved starten av det første året. Hvor mye var andelene verdt etter tre år?

Løs oppgaven

Merverdiavgift, rabatt og påslag

25\,\%

✏️Eksempel 9: Påslag og mva

En butikk kjøper inn en lampe for $400$ kr. Butikken legger på $60\,\%$ og deretter $25\,\%$ mva. Hva blir utsalgsprisen?

400 \cdot 1{,}60 = 640

$640 \cdot 1{,}25 = 800$

Svar: Utsalgsprisen er $800$ kr.

✏️Eksempel 10: Pris uten mva

En regning fra et verksted er på $1\,250$ kr med $25\,\%$ mva. Hvor mye er prisen uten mva, og hvor mye er mva-beløpet?

\frac{1\,250}{1{,}25} = 1\,000

$1\,250 - 1\,000 = 250$

Kontroll: $250$ er $20\,\%$ av $1\,250$ .

Svar: Prisen uten mva er $1\,000$ kr, og mva-beløpet er $250$ kr.

📝Oppgave 15

Merverdiavgift. Bruk $25\,\%$ mva der ikke annet er oppgitt.

En PC koster $2\,960$ kr uten mva. Hva koster den med mva?

En tjeneste koster $1\,875$ kr med mva. Finn prisen uten mva og mva-beløpet.

Forklar at mva-beløpet alltid er $20\,\%$ av prisen med mva når satsen er $25\,\%$ .

Matvarer har $15\,\%$ mva. En handlekurv med mat koster $345$ kr. Hvor mye av dette er mva?

Løs oppgaven

Gjentatt prosentvis endring

Endres en verdi med samme prosent flere perioder på rad, ganger vi med den samme vekstfaktoren hver gang. Etter $n$ perioder er verdien

$K \cdot v^n$

der $K$ er startverdien. Slike modeller kalles eksponentielle modeller og er tema i kapittel 2.2 Eksponentielle modeller.

✏️Eksempel 11: Verditap over flere år

En bil kostet $250\,000$ kr som ny. Verdien synker med $12\,\%$ per år.

a) Hva er bilen verdt etter $5$ år?

b) Hvor mange prosent har verdien sunket med til sammen?

$v = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$

$250\,000 \cdot 0{,}88^5 \approx 131\,933$

Svar: Bilen er verdt om lag $131\,900$ kr.

$0{,}88^5 \approx 0{,}5277$

$0{,}5277 - 1 = -0{,}4723$

Svar: Verdien har sunket med om lag $47{,}2\,\%$ (ikke $5 \cdot 12\,\% = 60\,\%$ ).

✏️Eksempel 12: Fra årlig til månedlig rente

En sparekonto gir $5\,\%$ effektiv rente per år, det vil si at saldoen vokser med $5\,\%$ i løpet av et år. Rentene legges til hver måned med samme månedlige vekstfaktor $x$ . Finn $x$ og den månedlige renten.

x^{12} = 1{,}05

GeoGebra CAS:

NLøs(x^12=1.05, x)

$x = \sqrt[12]{1{,}05} \approx 1{,}00407$

Kontroll: $1{,}00407^{12} \approx 1{,}0500$ .

Svar: Den månedlige vekstfaktoren er om lag $1{,}00407$ , altså om lag $0{,}407\,\%$ rente per måned.

Effektiv årsrente: ikke del på 12

Når årsrenten er effektiv (den faktiske veksten over et år), kan vi ikke dele den på 12. $\displaystyle \frac{5\,\%}{12} \approx 0{,}417\,\%$ per måned gir $1{,}00417^{12} \approx 1{,}0512$ , altså om lag $5{,}12\,\%$ per år. Renters rente gjør at månedsrenten må være litt lavere enn årsrenten delt på $12$ .

Er årsrenten nominell, som for kredittkort og lån i delkapittel 1.2, er månedsrenten den nominelle renten delt på 12.

📝Oppgave 16

Butikk A og butikk B kjøper inn den samme jakken for $600$ kr. Butikk A beregner utsalgsprisen med uttrykket $600 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}8 \cdot 1{,}25$ , og butikk B med $600 \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}9 \cdot 1{,}25$ .

Forklar hva hver faktor i uttrykket for butikk A betyr.

Hvilken butikk har lavest pris på jakken?

Avgjør hvilken butikk som er billigst uten å regne ut prisene. Begrunn svaret.

📝Oppgave 17

En idrettsklubb har $486$ medlemmer i dag. Medlemstallet økte med $20\,\%$ det første av de tre siste årene og sank med $10\,\%$ hvert av de to neste årene.

Forklar hva uttrykket $\dfrac{486}{1{,}2 \cdot 0{,}9^2}$ regner ut.

Regn ut hvor mange medlemmer klubben hadde for tre år siden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 18

Et rektangel har lengde $20$ cm og bredde $10$ cm. Lengden økes med $p\,\%$ , og bredden minkes med $p\,\%$ .

Finn det nye arealet når $p = 10$ . Hvor mange prosent endret arealet seg?

Vis at arealet alltid blir mindre, uansett hvilken verdi $p$ har (med $0 < p < 100$ ).

Hvor mange prosent minker arealet når $p = 30$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 19

Påstand: « $a\,\%$ av $b$ er alltid like mye som $b\,\%$ av $a$ .»

Kontroller påstanden med $a = 8$ og $b = 50$ .

Vis at påstanden alltid stemmer.

Bruk dette til å regne ut $36\,\%$ av $25$ i hodet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 20

Gjentatt prosentvis endring. Bruk digitale hjelpemidler.

En bil kostet $320\,000$ kr som ny og taper $15\,\%$ av verdien hvert år. Hva er bilen verdt etter $4$ år, og hvor mange prosent har verdien sunket med til sammen?

Et sparebeløp på $80\,000$ kr skal vokse til $100\,000$ kr på $5$ år med fast årlig rente. Hvor høy må renten være?

Løs oppgaven

📝Oppgave 21

En bank gir $6\,\%$ effektiv rente per år på en sparekonto, det vil si at saldoen vokser med $6\,\%$ i løpet av et år. Rentene legges til hver måned med samme månedlige vekstfaktor. Bruk digitale hjelpemidler.

Still opp en likning for den månedlige vekstfaktoren x, og løs den. Hvor mange prosent er renten per måned?

Sofie setter inn $20\,000$ kr. Hvor mye står på kontoen etter $8$ måneder?

Sofie mener månedsrenten er $\displaystyle \frac{6\,\%}{12} = 0{,}5\,\%$ . Vis at det gir mer enn $6\,\%$ rente per år.

Løs oppgaven

Oppsummering

- $p\,\%$ av $G$ er $\displaystyle \frac{p}{100} \cdot G$ . Andel i prosent er $\displaystyle \frac{\text{del}}{\text{det hele}} \cdot 100\,\%$ .
- Prosentvis endring $= \dfrac{\text{ny} - \text{opprinnelig}}{\text{opprinnelig}} \cdot 100\,\%$ . Del alltid på verdien du sammenlikner med.
- Prosentpoeng er differansen mellom to prosenttall. Prosent er den relative endringen.
- Vekstfaktor: $\displaystyle v = 1 + \frac{p}{100}$ ved økning og $\displaystyle v = 1 - \frac{p}{100}$ ved nedgang. Ny verdi $= G \cdot v$ .
- Opprinnelig verdi $= \dfrac{\text{ny verdi}}{v}$ . Prosenten kan ikke bare trekkes fra.
- Flere endringer: gang vekstfaktorene. $+20\,\%$ og så $-20\,\%$ gir $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ , altså $-4\,\%$ .
- Mva $25\,\%$ : gang med $1{,}25$ for å legge til, del på $1{,}25$ for å trekke fra.
- Samme endring $n$ ganger: $K \cdot v^n$ . Fra årlig til månedlig vekstfaktor: løs $x^{12} = v$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Grunnverdi	Verdien prosenten regnes av
Prosentpoeng	Differansen mellom to prosenttall
Vekstfaktor	Tallet vi ganger med ved en prosentvis endring
Samlet vekstfaktor	Produktet av vekstfaktorene ved flere endringer
Merverdiavgift	Avgift på varer og tjenester, generelt $25\,\%$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.