4.5 Rasjonale ulikheter

Når $x$ havner under brøkstreken

Frem til nå har vi jobbet med ulikheter der $x$ bare forekommer i telleren. Men hva skjer når $x$ dukker opp i nevneren av en brøk? Plutselig kan vi ikke lenger gange begge sider med nevneren, fordi vi ikke vet om den er positiv eller negativ – og om vi må snu ulikhetstegnet.

Slike ulikheter kaller vi rasjonale ulikheter, fordi de inneholder brøkuttrykk (rasjonale uttrykk) med variabler i nevneren. I dette kapittelet skal vi se at fortegnsskjema er redningen – men med én ekstra ting å huske: der nevneren er null, er uttrykket udefinert. Det punktet kan aldri være med i løsningsmengden.

Hvorfor du ikke kan gange med nevneren

La oss forstå problemet ordentlig. Tenk på ulikheten $\displaystyle \frac{3}{x} > 1$. Første instinkt er kanskje å gange begge sider med $x$. Men det gir $3 > x$ bare dersom $x > 0$. Hvis $x < 0$, måtte vi snudd ulikhetstegnet og fått $3 < x$, som aldri kan stemme for negative $x$. Så ganging med $x$ splittes i to tilfeller, og det blir rotete.

Istedenfor bruker vi en annen strategi: flytt alt til én side slik at du får en brøk som er $> 0$ eller $< 0$. For $\displaystyle \frac{3}{x} > 1$ trekker vi fra 1: $\displaystyle \frac{3}{x} - 1 > 0$. Felles nevner gir $\displaystyle \frac{3 - x}{x} > 0$. Nå har vi et brøkuttrykk som vi kan analysere med fortegnsskjema.

Den generelle oppskriften er: flytt alt til én side, skriv om med felles nevner, faktoriser teller og nevner, og sett opp fortegnsskjema. Brøken har samme fortegn som produktet av teller og nevner (pluss delt på pluss er pluss, minus delt på minus er pluss, og så videre). Faktisk kan vi behandle $\displaystyle \frac{1}{x}$ som en egen faktor i fortegnsskjemaet.

Det viktigste å huske: der nevneren er null, er uttrykket udefinert. Vi markerer slike punkter med $\not\exists$ i fortegnsskjemaet, og de kan aldri inkluderes i løsningsmengden – uansett om ulikheten er streng ($<$, $>$) eller svak ($\leq$, $\geq$).

Fortegnslinjer for brøkuttrykk

I forrige kapittel tegnet vi fortegnslinjer for lineære uttrykk som $(x-3)$. Nå trenger vi fortegnslinjer for uttrykk som $\displaystyle \frac{1}{x}$ og $\displaystyle \frac{1}{x-2}$.

La oss starte med $\displaystyle \frac{1}{x}$. For $x > 0$ er brøken positiv (positivt delt på positivt). For $x < 0$ er brøken negativ (positivt delt på negativt). Ved $x = 0$ er brøken udefinert – vi kan ikke dele med null. Fortegnslinjen viser altså: negativ for $x < 0$, udefinert ved $x = 0$, og positiv for $x > 0$.

Hva med $\displaystyle \frac{1}{x-2}$? Nevneren er null ved $x = 2$. For $x < 2$ er nevneren negativ, så brøken er negativ. For $x > 2$ er nevneren positiv, så brøken er positiv. Ved $x = 2$ er den udefinert.

Nøkkelobservasjonen er: $\displaystyle \frac{1}{x-a}$ har nøyaktig samme fortegn som $(x - a)$, bortsett fra at den er udefinert (ikke null) ved $x = a$. Dette betyr at vi kan bruke $\displaystyle \frac{1}{x-a}$ som en faktor i fortegnsskjemaet, og den oppfører seg nesten identisk med $(x-a)$ – den eneste forskjellen er at vi markerer nullpunktet som udefinert istedenfor null.

La oss ta et eksempel: $\displaystyle \frac{4}{x}$. Vi skriver det som $\displaystyle 4 \cdot \frac{1}{x}$. Fortegnsskjemaet har $4$ (alltid positiv) og $\displaystyle \frac{1}{x}$ (negativ for $x < 0$, udefinert ved $x = 0$, positiv for $x > 0$). Produktet: negativ for $x < 0$, udefinert ved $x = 0$, positiv for $x > 0$.

Løse rasjonale ulikheter – steg for steg

La oss løse $\displaystyle \frac{x - 3}{x} \geq 0$. Vi skriver om som et produkt: $\displaystyle (x - 3) \cdot \frac{1}{x} \geq 0$. Kritiske punkter: $x = 3$ (nullpunkt for telleren) og $x = 0$ (udefinert for nevneren).

Fortegnsskjema: $(x-3)$ er negativ for $x < 3$, null ved $x = 3$, positiv for $x > 3$. $\displaystyle \frac{1}{x}$ er negativ for $x < 0$, udefinert ved $x = 0$, positiv for $x > 0$.

Produktet: for $x < 0$ er $(-) \cdot (-) = +$. For $0 < x < 3$ er $(-) \cdot (+) = -$. For $x > 3$ er $(+) \cdot (+) = +$. Ved $x = 3$ er produktet null (inkluderes fordi $\geq$). Ved $x = 0$ er produktet udefinert (inkluderes aldri).

Vi ønsker $\geq 0$, altså positivt eller null. Svaret: $x < 0$ eller $x \geq 3$. I intervallnotasjon: $x \in \langle -\infty, 0 \rangle \cup [3, \infty \rangle$. Legg merke til at vi bruker vinkelparentes ved 0 (udefinert, aldri med) og hakeparentes ved 3 (null er med fordi $\geq$).

Et annet eksempel: $\displaystyle \frac{-3}{(x + 2)(x - 1)} \geq 0$. Faktorene er $-3$ (alltid negativ), $\displaystyle \frac{1}{x+2}$ (udefinert ved $x = -2$) og $\displaystyle \frac{1}{x-1}$ (udefinert ved $x = 1$). For $-2 < x < 1$: $(-) \cdot (+) \cdot (-) = +$. Ellers er produktet negativt. Løsning: $x \in \langle -2, 1 \rangle$. Telleren er aldri null ($-3 \neq 0$), så vi bruker vinkelparentes ved begge endepunktene.

Ulikheter som krever omskriving

Mange rasjonale ulikheter kommer ikke ferdig arrangert med null på den ene siden. Da må du flytte ledd og finne felles nevner.

La oss løse $\displaystyle \frac{8}{x} < 4$. Vi trekker fra 4: $\displaystyle \frac{8}{x} - 4 < 0$. For å skrive dette som én brøk trenger vi felles nevner $x$: $\displaystyle \frac{8}{x} - \frac{4x}{x} = \frac{8 - 4x}{x} < 0$. Vi faktoriserer telleren: $\displaystyle \frac{-4(x - 2)}{x} < 0$, som vi skriver som $\displaystyle -4 \cdot (x - 2) \cdot \frac{1}{x} < 0$.

Kritiske punkter: $x = 2$ (nullpunkt for telleren) og $x = 0$ (udefinert for nevneren). Fortegnsskjema: for $x < 0$ er $(-)(-)(-) = -$. For $0 < x < 2$ er $(-)(-)( +) = +$. For $x > 2$ er $(-)(+)(+) = -$. Vi ønsker negativt ($< 0$), altså $x < 0$ eller $x > 2$. Løsning: $x \in \langle -\infty, 0 \rangle \cup \langle 2, \infty \rangle$.

Et annet eksempel: $\displaystyle \frac{2}{x-4} + 2 \leq 0$. Felles nevner $(x-4)$: $\displaystyle \frac{2 + 2(x-4)}{x-4} = \frac{2x - 6}{x - 4} = \frac{2(x-3)}{x-4} \leq 0$. Kritiske punkter: $x = 3$ (nullpunkt) og $x = 4$ (udefinert). For $x < 3$: $(+)(-)(-) = +$. For $3 < x < 4$: $(+)(+)(-) = -$. For $x > 4$: $(+)(+)(+) = +$. Negativt eller null for $3 \leq x < 4$. Løsning: $x \in [3, 4 \rangle$. Hakeparentes ved 3 (nullpunkt inkludert) og vinkelparentes ved 4 (udefinert).

Definisjonsmengde og fallgruver

La oss snakke om definisjonsmengden – altså de verdiene av $x$ der uttrykket i det hele tatt gir mening. For en rasjonal ulikhet er uttrykket udefinert der nevneren er null. Disse verdiene må alltid utelukkes fra løsningsmengden, uansett hva ulikheten sier.

Ta uttrykket $\displaystyle \frac{3x + 6}{x - 5}$. Nevneren er null ved $x = 5$, så definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $x = 5$. Skal vi løse $\displaystyle \frac{3x + 6}{x - 5} \leq 0$, faktoriserer vi telleren: $\displaystyle \frac{3(x + 2)}{x - 5}$. Nullpunkt i telleren: $x = -2$. Udefinert: $x = 5$. Fortegnsskjema med faktorene $3$ (positiv), $(x+2)$ og $\displaystyle \frac{1}{x-5}$: for $x < -2$ er $(+)(-)(-) = +$. For $-2 < x < 5$ er $(+)(+)(-) = -$. For $x > 5$ er $(+)(+)(+) = +$. Vi ønsker $\leq 0$: negativt for $-2 < x < 5$, null ved $x = -2$. Løsning: $x \in [-2, 5 \rangle$.

Her er de viktigste fallgruvene å passe seg for. For det første: glem aldri å utelukke verdier der nevneren er null – bruk alltid vinkelparentes ved slike punkter. For det andre: ikke glem å faktorisere hele uttrykket ordentlig. Uttrykk som $\displaystyle \frac{-2x + 4}{x + 1}$ bør skrives som $\displaystyle \frac{-2(x-2)}{x+1}$ før du setter opp fortegnsskjema. For det tredje: husk at en brøk er null bare når telleren er null (og nevneren ikke er det). Hvis telleren er en konstant som $5$ eller $-3$, er brøken aldri null.

Oppsummering

Rasjonale ulikheter inneholder brøkuttrykk der $x$ forekommer i nevneren. Du kan ikke gange med nevneren fordi du ikke vet fortegnet, og da vet du ikke om ulikhetstegnet skal snus.

Fremgangsmåten er: flytt alt til én side slik at du har $\displaystyle \frac{\text{noe}}{\text{noe}} \gtrless 0$. Faktoriser teller og nevner. Sett opp fortegnsskjema med én rad for hver faktor. Fortegnslinjen til $\displaystyle \frac{1}{x-a}$ er lik den til $(x-a)$, bortsett fra at den er udefinert (ikke null) ved $x = a$.

Der nevneren er null, er uttrykket udefinert og kan aldri inkluderes i løsningsmengden – bruk alltid vinkelparentes. Der telleren er null, er uttrykket lik null – dette punktet inkluderes bare ved svak ulikhet ($\leq$ eller $\geq$).

En brøk er null bare når telleren er null (og nevneren ikke er det). Hvis telleren er en konstant som aldri er null, er brøken aldri null – da gir selv $\leq 0$ bare de intervallene der brøken er strengt negativ.