2.8 Praktisk bruk av likninger

Når tall gjemmer seg i hverdagen

Tenk deg at du og en venn deler en regning på en restaurant. Du vet totalen, og du vet at vennen din spiste for 50 kroner mer enn deg. Hvor mye skylder du egentlig? Uten at du kanskje tenker over det, har du nettopp formulert en likning i hodet.

I dette kapittelet skal vi se at likninger ikke bare er noe du regner med på skolen. De er et verktøy du kan bruke til å løse ekte problemer fra virkeligheten. Vi skal jobbe med fem ulike typer oppgaver: vi starter med enkle tallgåter der vi finner ukjente tall, så tar vi for oss aldersoppgaver der tiden spiller inn, før vi ser på penger og priser, geometri med omkrets og areal, og til slutt sammenhengen mellom fart, tid og strekning. For alle disse problemtypene bruker vi samme fremgangsmåte: les oppgaven nøye, velg en variabel for det ukjente, sett opp en likning, løs den, og sjekk at svaret gir mening i sammenhengen.

Finn tallet -- de enkleste tekstoppgavene

Vi begynner med den mest grunnleggende typen tekstoppgave: du får en beskrivelse av et tall, og du skal finne ut hvilket tall det er. Nøkkelen er å oversette ordene til matematikk.

Tenk deg at noen sier: "Summen av et tall og 7 er 15." Du lar det ukjente tallet hete $x$. "Summen av et tall og 7" blir da $x + 7$, og det hele er lik 15. Altså: $x + 7 = 15$. Du trekker fra 7 på begge sider og finner at $x = 8$. Sjekk: $8 + 7 = 15$. Stemmer!

Hva med litt mer sammensatte beskrivelser? "Det dobbelte av et tall pluss 3 er 17." Her betyr "det dobbelte av et tall" at vi ganger med 2, altså $2x$. Legg til 3 og du har $2x + 3 = 17$. Trekk fra 3 på begge sider: $2x = 14$. Del på 2: $x = 7$. Sjekk: $2 \cdot 7 + 3 = 17$. Perfekt.

Disse oppgavene handler egentlig om å bygge et matematisk ordforråd: "summen" betyr pluss, "differansen" betyr minus, "det dobbelte" betyr ganger med 2, "det tredobbelte" betyr ganger med 3, og "produktet" betyr ganger. Når du kjenner dette ordforrådet, kan du oversette nesten hvilken som helst setning til en likning.

La oss ta ett til: "Summen av to tall er 20. Det ene tallet er 4 mer enn det andre." Her har vi to ukjente, men vi kan uttrykke begge med samme variabel. La det minste tallet være $x$. Da er det største $x + 4$. Summen gir oss $x + (x + 4) = 20$, altså $2x + 4 = 20$, som gir $x = 8$. Tallene er 8 og 12.

Aldersoppgaver -- når tiden spiller inn

Aldersoppgaver er en klassiker i matematikken, og de handler om en enkel sannhet: alle blir like mye eldre. Hvis det går 5 år, øker alles alder med nøyaktig 5.

La oss si at Emma er 3 ganger så gammel som Lukas, og at de til sammen er 24 år. Hvem er hvem? Vi lar $x$ være alderen til Lukas. Da er Emma $3x$ år gammel. Til sammen: $x + 3x = 24$, altså $4x = 24$, som gir $x = 6$. Lukas er 6 år og Emma er 18 år. Sjekk: $6 + 18 = 24$, og $18 = 3 \cdot 6$. Alt stemmer.

Det blir virkelig spennende når oppgaven handler om fremtiden eller fortiden. Tenk deg denne: "En far er 30 år eldre enn sønnen sin. Om 5 år vil faren være dobbelt så gammel som sønnen." La sønnens alder nå være $x$. Faren er da $x + 30$. Om 5 år er sønnen $x + 5$ og faren $x + 35$. Betingelsen "dobbelt så gammel" gir oss:

$$x + 35 = 2(x + 5)$$

Vi løser opp: $x + 35 = 2x + 10$. Trekker fra $x$ på begge sider: $35 = x + 10$. Trekker fra 10: $x = 25$. Sønnen er 25 og faren er 55. Om 5 år er de 30 og 60, og $60 = 2 \cdot 30$. Stemmer!

Det viktigste å huske i aldersoppgaver er at tidsforskjellen mellom to personer aldri endrer seg. Faren vil alltid være 30 år eldre enn sønnen, enten det er nå, om 5 år, eller om 50 år.

Penger og priser -- matematikk i lommeboka

Pengeproblemer føles ofte mer konkrete enn abstrakte tallgåter, og de bygger på en enkel grunnregel: totalpris er lik pris per enhet ganget med antall.

Elise går på kino og kjøper billetter til 120 kroner stykket. Hun betaler 600 kroner totalt. Hvor mange billetter kjøpte hun? Vi setter opp likningen $120x = 600$, deler på 120 og finner $x = 5$. Fem billetter.

Fordelingsproblemer er en annen klassiker. Jonas og Ida skal dele 450 kroner, men Jonas skal ha 50 kroner mer enn Ida. La $x$ være det Ida får. Jonas får da $x + 50$. Til sammen:

$$x + (x + 50) = 450$$

Det gir $2x + 50 = 450$, altså $2x = 400$ og $x = 200$. Ida får 200 kroner og Jonas får 250 kroner. Vi sjekker: $200 + 250 = 450$ og $250 - 200 = 50$. Begge betingelsene er oppfylt.

Et viktig poeng: det er ikke alltid du bare har to parter. Tenk deg at Emilie og Markus deler 720 kroner, og Emilie skal ha dobbelt så mye som Markus. Her lar vi $x$ være det Markus får. Emilie får $2x$. Summen er $x + 2x = 3x = 720$, som gir $x = 240$. Markus får 240 kroner og Emilie får 480 kroner. Legg merke til at vi uttrykte begge beløpene med samme variabel og brukte den ene betingelsen til å sette opp likningen.

Geometri -- likninger i form og figur

Når du kjenner omkretsen eller arealet til en figur, men ikke alle sidene, kan likninger hjelpe deg å finne de ukjente målene. Nøkkelformlene er: omkretsen av et rektangel er $O = 2l + 2b$, og arealet er $A = l \cdot b$.

Et rektangel har omkrets 36 cm, og lengden er 3 cm mer enn bredden. Hva er målene? Vi lar bredden være $x$ cm. Da er lengden $(x + 3)$ cm. Omkretsen gir oss:

$$2x + 2(x + 3) = 36$$

Vi løser opp parentesen: $2x + 2x + 6 = 36$, altså $4x + 6 = 36$. Trekker fra 6: $4x = 30$. Deler på 4: $x = 7{,}5$. Bredden er 7,5 cm og lengden er 10,5 cm. Sjekk: $2 \cdot 7{,}5 + 2 \cdot 10{,}5 = 15 + 21 = 36$ cm.

Trekanter fungerer på samme måte. En likebeint trekant har omkrets 32 cm, og de to like sidene er hver 5 cm lengre enn grunnlinjen. La grunnlinjen være $x$ cm. De to like sidene er $(x + 5)$ cm hver. Omkretsen:

$$x + (x + 5) + (x + 5) = 32$$

Det gir $3x + 10 = 32$, altså $3x = 22$ og $\displaystyle x = \frac{22}{3} \approx 7{,}33$ cm. De like sidene er $\displaystyle \frac{22}{3} + 5 = \frac{37}{3} \approx 12{,}33$ cm. Sjekk: $\displaystyle \frac{22}{3} + \frac{37}{3} + \frac{37}{3} = \frac{96}{3} = 32$ cm. Det stemmer!

Disse problemene viser at likninger og geometri henger tett sammen. Nøkkelen er alltid å uttrykke alle ukjente mål ved hjelp av samme variabel, sette opp en likning fra det du vet (for eksempel omkretsen), og løse den.

Fart, tid og strekning -- matematikk i bevegelse

Den siste typen praktisk oppgave vi ser på handler om bevegelse, og den bygger på en av de mest grunnleggende formlene i fysikken: strekning er lik fart ganger tid, eller $s = v \cdot t$. Fra denne formelen kan vi også utlede at $\displaystyle v = \frac{s}{t}$ og $\displaystyle t = \frac{s}{v}$.

En bil kjører med 80 km/t. Hvor lang tid tar det å kjøre 200 km? Her kjenner vi strekningen og farten, og vi skal finne tiden. Vi setter inn: $200 = 80t$, som gir $\displaystyle t = \frac{200}{80} = 2{,}5$ timer. Det er 2 timer og 30 minutter.

Det blir mer spennende når to objekter er i bevegelse samtidig. Tenk deg at to biler starter fra samme sted og kjører i motsatt retning. Den ene holder 70 km/t og den andre 90 km/t. Etter hvor lang tid er de 400 km fra hverandre?

Etter $t$ timer har den første bilen kjørt $70t$ km og den andre $90t$ km. Den samlede avstanden mellom dem er $70t + 90t = 160t$ km. Vi setter dette lik 400:

$$160t = 400$$

Det gir $t = 2{,}5$ timer. Sjekk: $70 \cdot 2{,}5 + 90 \cdot 2{,}5 = 175 + 225 = 400$ km.

Et enda tøffere eksempel: en bil kjører fra A til B med 60 km/t og tilbake med 40 km/t. Hele turen tar 5 timer. Hvor langt er det? La strekningen være $s$ km. Tiden fra A til B er $\displaystyle \frac{s}{60}$ timer, og tilbake er $\displaystyle \frac{s}{40}$ timer. Summen er 5 timer: $\displaystyle \frac{s}{60} + \frac{s}{40} = 5$. Vi ganger gjennom med 120: $2s + 3s = 600$, altså $5s = 600$ og $s = 120$ km.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi sett at likninger er et kraftig verktøy for å løse problemer fra den virkelige verden. Fremgangsmåten er alltid den samme: les oppgaven nøye, velg en variabel $x$ for det ukjente, uttrykk andre størrelser ved hjelp av $x$, sett opp en likning basert på informasjonen du har, løs likningen, og sjekk at svaret gir mening i konteksten.

Vi har jobbet med fem ulike problemtyper. Tallgåter der du finner ukjente tall fra beskrivelser som "summen", "differansen" og "det dobbelte". Aldersoppgaver der nøkkelen er at alle blir like mye eldre, og tidsforskjellen mellom to personer aldri endrer seg. Pengeproblemer som bygger på at totalpris er lik pris per enhet ganget med antall, eller at beløp deles etter bestemte regler. Geometrioppgaver der du bruker formler for omkrets ($O = 2l + 2b$ for rektangler) og areal til å finne ukjente sidelengder. Og fart-tid-strekning-oppgaver som bygger på formelen $s = v \cdot t$ og blir spesielt interessante når flere objekter beveger seg samtidig.

Uansett type oppgave: trikset er å oversette ord til matematikk, steg for steg.