6.1 Grunnleggende sannsynlighet

Spillkvelden og den siste sekseren

Det er spillkveld, og du trenger en sekser for å vinne. Du rister terningen i hånden og kjenner spenningen: hvor stor er egentlig sjansen? En venn mener «fifty-fifty -- enten får du den eller ikke». En annen sier «én av seks». Hvem har rett?

Spørsmål som dette er det sannsynlighetsregning handler om: å sette tall på det usikre. En sannsynlighet er et tall mellom $0$ og $1$ som beskriver hvor sannsynlig en hendelse er. $0$ betyr umulig -- terningen viser sju. $1$ betyr helt sikkert -- terningen viser et tall mellom én og seks. Og $0{,}5$ betyr $50\,\%$ sjanse, som myntkast.

I dette kapittelet lærer du å regne ut slike tall for terninger, kortstokker og lykkehjul -- og du får vite hvem av vennene dine som hadde rett.

Gunstige delt på mulige

La oss undersøke terningen. Når du kaster den, finnes det seks mulige resultater -- vi kaller dem utfall: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ og $6$. En rettferdig terning har ingen favoritter; alle seks utfallene er like sannsynlige. En slik situasjon kalles en uniform sannsynlighetsmodell, og da gjelder en vakkert enkel formel:

$$P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$$

Et gunstig utfall er et utfall der hendelsen du venter på, faktisk inntreffer. Du venter på en sekser -- bare ett av de seks utfallene er gunstig:

$$P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 = 16{,}7\,\%$$

Så vennen som sa «én av seks» hadde rett, og «fifty-fifty»-vennen tok feil: at noe enten skjer eller ikke skjer, betyr ikke at sjansene er like store!

Formelen fungerer for alt der utfallene er like sannsynlige. Hva er sjansen for å få et partall på terningen? De gunstige utfallene er $2$, $4$ og $6$ -- tre stykker:

$$P(\text{partall}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\,\%$$

Eller et lykkehjul med $8$ like store felter der $2$ gir gevinst: $\displaystyle P(\text{gevinst}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Tell mulige, tell gunstige, del -- det er hele oppskriften.

Kortstokken og kunsten å snu problemet

Etter terningspillet finner dere frem kortstokken. Den er en gullgruve for sannsynlighetsregning, så la oss bli kjent med den: en standard kortstokk har $52$ kort fordelt på $4$ farger -- hjerter, ruter, kløver og spar -- med $13$ verdier i hver farge: ess, $2$ til $10$, knekt, dame og konge.

Du trekker ett kort. Hva er sjansen for hjerter? Det finnes $13$ hjerterkort av $52$ totalt:

$$P(\text{hjerter}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 25\,\%$$

Og sjansen for å trekke et ess? Det er fire ess i stokken, ett i hver farge:

$$P(\text{ess}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 7{,}7\,\%$$

Noen ganger er det lurere å regne på det motsatte av det du lurer på. Hva er sannsynligheten for å ikke trekke et ess? Du kunne telle opp alle $48$ ikke-essene, men det finnes en snarvei. Hendelsen «ikke ess» kalles komplementet til «ess», og siden ett av de to må skje, er summen av sannsynlighetene deres alltid $1$:

$$P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$$

Dermed: $\displaystyle P(\text{ikke ess}) = 1 - \frac{4}{52} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$. Komplementregelen virker kanskje som en bagatell nå, men den er et av de mest brukte triksene i hele sannsynlighetsregningen -- ofte er «minst én ...»-spørsmål nesten umulige å angripe direkte, men enkle via komplementet.

Oppsummering

Spillkvelden ga oss hele grunnmuren i sannsynlighetsregning.

En sannsynlighet er et tall mellom $0$ (umulig) og $1$ (helt sikkert) som måler hvor sannsynlig en hendelse er. Når alle utfall er like sannsynlige -- som på en rettferdig terning eller i en stokket kortstokk -- bruker vi den klassiske formelen:

$$P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$$

Slik fant vi $\displaystyle P(6) = \frac{1}{6}$ for terningen, $\displaystyle P(\text{hjerter}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ for kortstokken, og avslørte at «fifty-fifty»-argumentet ikke holder: like få muligheter betyr ikke like store sjanser.

Til slutt lærte vi komplementregelen: $P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$. Den snur vanskelige spørsmål til enkle, og den blir bare viktigere jo lenger du kommer i sannsynlighetsregningen.

Neste gang du rister terningen og trenger en sekser, vet du nøyaktig hva du har å forholde deg til: $16{,}7\,\%$ -- verken mer eller mindre.