4.3 Volum og overflate | Matematikk 1P

Hvor mye rommer egentlig sekken?

Du pakker tursekk og lurer på om alt får plass. Spørsmålet du egentlig stiller, er et volumspørsmål: Hvor mye rom er det inni? Volum er størrelsen på rommet en gjenstand fyller eller rommer, og det måles i kubikkenheter som kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³) -- eller i liter, når det handler om væske og innhold.

Sammenhengen mellom kubikkenhetene og literen er noe av det nyttigste du lærer i dette kapittelet: $1$ liter er nøyaktig $1$ dm³ -- en terning med sider på 10 cm. Derav følger at $1$ L $= 1000$ cm³, og at $1$ m³ $= 1000$ liter. En melkekartong på 1 liter rommer altså 1000 kubikkcentimeter.

Vi starter med den enkleste romfiguren: det rette prismet, eller boksen. Volumet er lengde ganger bredde ganger høyde:
$V = l \cdot b \cdot h$
En boks på $6 \times 4 \times 3$ cm rommer $V = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72$ cm³. Logikken er som for arealet, bare i tre dimensjoner: Tenk deg gulvet i boksen dekket av terninger på én kubikkcentimeter -- $6 \cdot 4 = 24$ terninger i bunnlaget -- og stable så 3 lag i høyden. En terning er bare en spesiell boks der alle sidene er like: side 4 cm gir $V = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ cm³.

📝Oppgave Quiz 1

Sylinderen: boksens runde fetter

Brusbokser, hermetikkbokser, vannrør og lys -- sylinderen er overalt rundt deg. En sylinder har en sirkelformet grunnflate og samme tverrsnitt hele veien opp, og volumet følger samme idé som for boksen: arealet av grunnflaten ganger høyden. Siden grunnflaten er en sirkel med areal $\pi r^2$ , blir formelen
$V = \pi r^2 h$

La oss regne på et glass med radius 3 cm og høyde 10 cm. Volumet er $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = \pi \cdot 90 \approx 283$ cm³ -- altså i underkant av 3 desiliter, siden 100 cm³ er én desiliter. Et vannrør med radius 2 cm og lengde 100 cm rommer $V = \pi \cdot 4 \cdot 100 \approx 1256$ cm³, omtrent 1,26 liter. Legg merke til at «høyden» gjerne kalles lengde når sylinderen ligger -- formelen bryr seg ikke om hvilken vei figuren peker.

Nettopp omregningen til liter er der volumregningen blir praktisk. Oppskriften er enkel: Regn ut volumet i cm³, og del på 1000 for å få liter. Et akvarium, en gryte eller en vanntank -- har du målene, har du literne. For eksempel er $5000$ cm³ det samme som $5$ liter. Og husk fellen fra sirkelregningen: Det er radiusen som skal kvadreres. Får du oppgitt diameteren på brusboksen, må du halvere den før du bruker formelen.

📝Oppgave Quiz 2

Fortellingen om rommet inni

Fra tursekken til brusboksen: Volum måler rommet inni, i kubikkenheter eller liter. For boksen -- det rette prismet -- ganger du de tre kantene: $V = l \cdot b \cdot h$ . For sylinderen tar du grunnflatens areal ganger høyden: $V = \pi r^2 h$ . Begge formlene bygger på samme idé: bunnflate ganger høyde, lag på lag oppover.

Broen til hverdagen heter liter: $1$ L $= 1$ dm³ $= 1000$ cm³, og $1$ m³ $= 1000$ liter. Regn ut volumet i kubikkcentimeter og del på 1000 -- vips har du literne i akvariet, gryta eller vanntanken.

Og som alltid med sirkler: Kvadrer radiusen, ikke diameteren. Med areal fra forrige kapittel og volum fra dette har du målene på både flatene og rommet -- neste steg er å regne om mellom alle enhetene, og det er nettopp temaet i kapittelet om måleenheter.