4.2 Areal og omkrets | Matematikk 1P

Stigen mot veggen

Du skal opp på taket og setter en stige mot husveggen. Stigen, veggen og bakken danner en trekant -- og fordi veggen står loddrett på bakken, er det en rettvinklet trekant. For akkurat slike trekanter finnes det en over 2500 år gammel oppdagelse som lar oss regne ut sider vi ikke kan måle: Pytagoras' setning.

Først litt navnelære. I en rettvinklet trekant kalles de to sidene som danner den rette vinkelen, for kateter. Den tredje siden, som ligger rett overfor den rette vinkelen, kalles hypotenusen -- og den er alltid den lengste siden i trekanten. I stigeeksempelet er veggen og bakken kateter, mens selve stigen er hypotenusen.

Pytagoras' setning sier at
$a^2 + b^2 = c^2$
der $a$ og $b$ er katetene og $c$ er hypotenusen. Med ord: Summen av katetenes kvadrater er lik hypotenusens kvadrat. Det betyr at hvis du kjenner to av sidene i en rettvinklet trekant, kan du alltid regne ut den tredje -- uten målebånd. Sjekk gjerne med den berømte 3-4-5-trekanten: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ . Det stemmer på prikken.

Å finne den lengste siden

Det vanligste regnestykket er å finne hypotenusen når begge katetene er kjent. Oppskriften følger rett fra setningen: Kvadrer katetene, legg sammen, og ta kvadratroten:
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

La oss si at katetene er 6 cm og 8 cm. Da er $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ , så $c = \sqrt{100} = 10$ cm. Eller med kateter 5 cm og 12 cm: $c^2 = 25 + 144 = 169$ , som gir $c = \sqrt{169} = 13$ cm. Tallsettene 3-4-5, 6-8-10 og 5-12-13 dukker opp så ofte i oppgaver at det lønner seg å dra kjensel på dem.

To ting er verdt å merke seg. For det første: Husk kvadratroten til slutt! En vanlig feil er å stoppe ved $c^2 = 100$ og svare 100 -- men det er kvadratet av siden, ikke siden selv. For det andre: Vær sikker på hvilken side som er hypotenusen. Den ligger alltid rett overfor den rette vinkelen og er alltid lengst. Får du oppgitt at en trekant har sider 6, 8 og 10, vet du dermed umiddelbart at 10 er hypotenusen -- ingen katet kan være lengre enn den.

📝Oppgave Quiz 1

Baklengs Pytagoras og hverdagens diagonaler

Hva om det er en av katetene som er ukjent? Da snur vi bare på likningen. Fra $a^2 + b^2 = c^2$ får vi $a^2 = c^2 - b^2$ , altså
$a = \sqrt{c^2 - b^2}$
Merk forskjellen: Når du leter etter hypotenusen, legger du sammen kvadratene -- når du leter etter en katet, trekker du fra. Er hypotenusen 10 cm og den ene kateten 6 cm, blir den andre kateten $\sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm.

Pytagoras kan også brukes som test: Er en trekant med sider 5, 6 og 8 rettvinklet? Vi sjekker om setningen holder med den lengste siden som hypotenus: $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$ , mens $8^2 = 64$ . Siden $61 \neq 64$ , er trekanten ikke rettvinklet. Stemmer regnestykket derimot -- som for 6, 8 og 10, der $36 + 64 = 100$ -- er trekanten rettvinklet.

Og hvor møter du dette i hverdagen? Overalt der det finnes diagonaler. En TV-skjerm som er 40 cm bred og 30 cm høy, har diagonal $\sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$ cm -- det er nettopp diagonalen TV-størrelser måles etter. Snekkeren bruker samme triks motsatt vei: Ved å måle diagonalen sjekker hun at veggen er i vinkel.

📝Oppgave Quiz 2

Fortellingen om den rette vinkelen

Stigen mot veggen ga oss en av geometriens mest brukte setninger. I en rettvinklet trekant danner de to katetene den rette vinkelen, mens hypotenusen -- den lengste siden -- ligger rett overfor. Pytagoras' setning binder dem sammen: $a^2 + b^2 = c^2$ .

Regneoppskriftene er to sider av samme sak. Leter du etter hypotenusen, legger du sammen kvadratene og tar roten: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Leter du etter en katet, trekker du fra: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ . Og vil du vite om en trekant er rettvinklet, tester du om $a^2 + b^2 = c^2$ stemmer med den lengste siden som $c$ .

Husk de to klassiske fellene: Ta kvadratroten til slutt, og vær sikker på hvilken side som er hypotenusen. Med det på plass kan du regne ut TV-diagonaler, sjekke at vegger er i vinkel og finne ut om stigen faktisk når opp til taket -- alt med en setning som har virket i to og et halvt tusen år.