4.1 Målestokk og enheter | Matematikk 1P

Hvor mye maling trenger du?

Du skal male rommet ditt og pusse opp. I butikken står det på spannet at malingen rekker til 10 kvadratmeter. Men hvor mange kvadratmeter er veggene dine? Og hvis du i tillegg skal sette opp en list langs gulvet -- hvor mange meter må du kjøpe? De to spørsmålene handler om de to viktigste målene i geometrien: areal og omkrets.

Arealet er størrelsen på en flate, og det måles i kvadratenheter som kvadratmeter (m²), kvadratcentimeter (cm²) eller kvadratkilometer (km²). Tenk på arealet som antall fliser på én ganger én meter du trenger for å dekke gulvet. Omkretsen er lengden rundt hele figuren, og den måles i vanlige lengdeenheter som meter eller centimeter -- det er listen langs gulvet, eller gjerdet rundt hagen.

De to målene forveksles lett, men svarer på helt ulike spørsmål: Arealet sier hvor mye flate du skal dekke, omkretsen hvor langt det er rundt. I dette kapittelet skal vi finne formlene for de tre vanligste figurene -- rektangelet, trekanten og sirkelen -- og bruke dem på praktiske problemer.

Rektangelet og trekanten

Vi starter med rektangelet, den enkleste figuren av alle. Har det lengde $l$ og bredde $b$ , er arealet $A = l \cdot b$ og omkretsen $O = 2l + 2b = 2(l + b)$ . Et rom som er 5 meter langt og 4 meter bredt, har altså gulvareal $A = 5 \cdot 4 = 20$ m², og listen rundt gulvet må være $O = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 4 = 18$ meter. Logikken bak arealformelen ser du for deg ved å dele gulvet i ruter på én ganger én meter: Det blir 4 rader med 5 ruter i hver, altså 20 ruter.

Trekanten kommer som nummer to. For en trekant med grunnlinje $g$ og høyde $h$ er arealet
$A = \frac{g \cdot h}{2}$
Det er nøyaktig halvparten av et rektangel med samme grunnlinje og høyde -- du kan se det for deg ved å tegne et rektangel rundt trekanten og oppdage at trekanten fyller halve. En trekant med grunnlinje 8 cm og høyde 5 cm har dermed areal $\displaystyle A = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$ cm².

Én ting må du passe ekstra på: Høyden er ikke en av sidene i trekanten (unntatt i spesielle tilfeller), men avstanden fra grunnlinjen rett opp til det motstående hjørnet. Høyden står alltid vinkelrett på grunnlinjen. Et fint poeng: Flytter du toppunktet sidelengs uten å endre høyden, er arealet fortsatt det samme -- grunnlinje og høyde er alt som teller.

📝Oppgave Quiz 1

Sirkelen og tallet som aldri tar slutt

Den tredje figuren har verken lengde eller bredde -- bare en radius $r$ , avstanden fra sentrum ut til kanten. For sirkelen gjelder formlene
$A = \pi r^2 \qquad O = 2\pi r$
der $\pi$ (pi) er et av matematikkens mest berømte tall, omtrent $3{,}14$ . Pi er forholdet mellom omkretsen og diameteren i enhver sirkel -- uansett størrelse er det alltid det samme tallet.

La oss regne på en rund hagedam med radius 3 meter. Arealet av vannflaten er $A = \pi \cdot 3^2 = \pi \cdot 9 \approx 28{,}3$ m², og kanten rundt dammen er $O = 2\pi \cdot 3 \approx 18{,}8$ meter. Pass på den klassiske fellen: I arealformelen er det radiusen som skal kvadreres, altså $\pi \cdot r^2$ , ikke $(\pi \cdot r)^2$ . Og får du oppgitt diameteren i stedet for radiusen, må du huske å halvere den først.

Til slutt et triks for figurene som ikke ser ut som noen av de tre: sammensatte figurer. En L-formet tomt kan deles opp i to rektangler som du regner ut hver for seg og legger sammen. Et kvadrat med et sirkelformet hull -- som en metallplate med et borehull -- regner du som hele kvadratet minus sirkelarealet. Strategien er alltid den samme: Del figuren i kjente deler, eller trekk fra hullene.

📝Oppgave Quiz 2

Fortellingen om flaten og kanten

Malingen og gulvlisten fra starten har nå hver sin matematikk. Arealet måler flaten i kvadratenheter, omkretsen måler lengden rundt i vanlige lengdeenheter -- to forskjellige spørsmål med hver sine formler.

For rektangelet er $A = l \cdot b$ og $O = 2(l + b)$ . For trekanten er $\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$ -- husk at høyden står vinkelrett på grunnlinjen og ikke nødvendigvis er en av sidene. Og for sirkelen styrer tallet $\pi \approx 3{,}14$ begge formlene: $A = \pi r^2$ og $O = 2\pi r$ , der $r$ er radiusen fra sentrum til kanten.

Møter du en figur som ikke ligner noen av disse, deler du den opp i kjente deler og legger sammen -- eller trekker fra hullene. Med disse verktøyene kan du regne ut malingsbehov, gjerdelengder og gulvflater, og du har grunnmuren klar for resten av geometrien: Pytagoras, volum og formlikhet venter i de neste kapitlene.