3.3 Eksponentialfunksjoner | Matematikk 1P

To punkter er alt du trenger

Tenk deg at du skal tegne en rett strek med linjal. Hvor mange punkter må du vite om før du kan legge linjalen riktig? Svaret er to. Siden grafen til en lineær funksjon alltid er en rett linje, trenger du bare to punkter for å tegne hele grafen -- resten følger av seg selv.

Den vanligste metoden er å lage en verditabell: Velg noen $x$ -verdier, regn ut funksjonsverdiene, og tegn inn punktene. Skal vi tegne $f(x) = 2x - 1$ , kan vi velge $x = 0$ , $x = 2$ og $x = 4$ . Det gir $f(0) = -1$ , $f(2) = 3$ og $f(4) = 7$ , altså punktene $(0, -1)$ , $(2, 3)$ og $(4, 7)$ . Tegn dem inn, trekk linjen gjennom -- ferdig. Det tredje punktet er strengt tatt unødvendig, men det fungerer som en fin kontroll: Ligger ikke alle tre på linje, har du regnet feil et sted.

Det finnes også en raskere metode for den som kjenner formen $f(x) = ax + b$ : Start i punktet $(0, b)$ på y-aksen. Bruk så stigningstallet som en oppskrift -- gå 1 til høyre og $a$ oppover (eller nedover hvis $a$ er negativ). Da har du to punkter med en gang, og linjen kan trekkes. For $f(x) = 2x - 1$ starter du i $(0, -1)$ , går 1 til høyre og 2 opp til $(1, 1)$ , og trekker linjen gjennom.

📝Oppgave Quiz 1

Hva grafen forteller deg

En graf er mer enn en strek -- den er en hel fortelling, hvis du vet hvordan du leser den. Der grafen krysser y-aksen, finner du startverdien, det funksjonen er verdt når $x = 0$ . Der den krysser x-aksen, finner du nullpunktet, der $f(x) = 0$ . Stigningen forteller om funksjonen øker eller minker, og jo større tallverdien av stigningstallet er, desto brattere går det.

Nullpunktet fortjener litt ekstra oppmerksomhet, for det dukker opp i utallige oppgaver. Å finne nullpunktet betyr å løse likningen $f(x) = 0$ . Ta $f(x) = 3x - 6$ : Vi setter $3x - 6 = 0$ , flytter over og får $3x = 6$ , altså $x = 2$ . Grafen krysser x-aksen i punktet $(2, 0)$ .

I praktiske situasjoner har nullpunktet ofte en konkret betydning. Hvis $f(x)$ beskriver hvor mye vann som er igjen i en tank etter $x$ minutter, forteller nullpunktet når tanken er tom. Hvis funksjonen beskriver temperaturen gjennom natten, viser nullpunktet når det passerer frysepunktet. Å kunne veksle mellom regnestykket «løs $f(x) = 0$ » og den praktiske tolkningen «når skjer det?» er en av de viktigste ferdighetene i hele funksjonslæren.

📝Oppgave Quiz 2

Når to linjer møtes

Tenk deg to mobilabonnement: ett med høy fastpris og lav minuttpris, og ett med lav fastpris og høy minuttpris. Tegner du begge prisfunksjonene i samme koordinatsystem, vil de to linjene før eller siden krysse hverandre. Krysningspunktet -- skjæringspunktet -- er nøyaktig der de to abonnementene koster det samme. Til venstre for punktet lønner det ene seg, til høyre det andre.

Hvordan finner vi skjæringspunktet med regning? Vi bruker at i skjæringspunktet har begge funksjonene samme verdi, og setter dem lik hverandre: $f(x) = g(x)$ . La oss finne skjæringspunktet mellom $f(x) = 2x + 1$ og $g(x) = -x + 7$ . Likningen blir $2x + 1 = -x + 7$ . Vi samler $x$ -ene på venstre side: $2x + x = 7 - 1$ , altså $3x = 6$ , som gir $x = 2$ .

Men et punkt trenger to koordinater. Y-verdien finner vi ved å sette $x = 2$ inn i en av funksjonene: $f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ . Skjæringspunktet er altså $(2, 5)$ -- og som kontroll kan du sjekke at $g(2) = -2 + 7 = 5$ gir det samme. Oppskriften er alltid: sett funksjonene lik hverandre, løs for $x$ , og finn $y$ ved innsetting.

📝Oppgave Quiz 3

Fortellingen i koordinatsystemet

Nå kan du både tegne og lese grafenes språk. Å tegne en lineær graf krever bare to punkter: lag en verditabell, eller start i $(0, b)$ på y-aksen og bruk stigningstallet som veibeskrivelse -- 1 til høyre, $a$ opp eller ned.

Å tolke en graf handler om å vite hvor du skal se. Skjæringen med y-aksen gir startverdien $f(0)$ . Nullpunktet er der grafen krysser x-aksen, og du finner det ved å løse $f(x) = 0$ -- i praksis ofte øyeblikket da tanken er tom eller temperaturen passerer null.

Når to grafer møtes, har vi et skjæringspunkt -- punktet der to funksjoner er like store, som når to abonnement koster det samme. Oppskriften: sett $f(x) = g(x)$ , løs likningen for $x$ , og finn $y$ ved å sette svaret inn i en av funksjonene. Med tegning, nullpunkter og skjæringspunkter i verktøykassa er du rustet for både rette linjer og -- som vi snart skal se -- kurver som bøyer seg.