3.1 Lineære funksjoner | Matematikk 1P

Brusautomaten som aldri tar feil

Du står foran en brusautomat og trykker på knappen for eplebrus. Ut kommer -- en eplebrus. Hver gang du trykker på den samme knappen, får du den samme brusen. Aldri to flasker, aldri en annen smak. Akkurat slik fungerer en funksjon i matematikken: Du putter inn en verdi, og du får ut nøyaktig én bestemt verdi tilbake.

Vi sier at en funksjon $f$ er en regel som til hver verdi av $x$ gir nøyaktig én verdi $f(x)$ . Tallet du putter inn, $x$ , kalles den uavhengige variabelen -- det er den du velger selv, som knappen på automaten. Resultatet som kommer ut, $f(x)$ , kalles den avhengige variabelen, fordi den avhenger av hva du puttet inn. Skrivemåten $f(x)$ leses «f av x», og er ikke noe skumlere enn et navn på utgangsverdien.

Mange liker å tenke på en funksjon som en maskin: inn med et tall, maskinen gjør jobben sin etter en fast regel, og ut kommer resultatet. Regelen kan for eksempel være «gang tallet med 2 og legg til 3» -- da skriver vi $f(x) = 2x + 3$ . I dette kapittelet skal vi lære å regne ut slike funksjonsverdier og å lese dem av fra grafer.

Maskinen i arbeid: funksjonsverdier

La oss sette maskinen $f(x) = 2x + 3$ i gang. Hva skjer hvis vi putter inn $x = 0$ ? Vi bytter rett og slett ut $x$ med 0 i regelen: $f(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3$ . Putter vi inn $x = 4$ , får vi $f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$ . Og maskinen takler negative tall også: $f(-2) = 2 \cdot (-2) + 3 = -4 + 3 = -1$ .

Mønsteret er alltid det samme: Der det står $x$ i funksjonsuttrykket, setter du inn tallet ditt, og så regner du ut. Å finne $f(5)$ for funksjonen $f(x) = 3x - 2$ betyr altså å regne ut $3 \cdot 5 - 2 = 13$ .

Her er en nyttig måte å tenke på: Når $f(2) = 7$ , betyr det at inngangsverdien 2 hører sammen med utgangsverdien 7. Disse to tallene danner et par $(2, 7)$ -- og akkurat slike tallpar er det vi snart skal tegne inn i et koordinatsystem. Noen ganger får du også det omvendte spørsmålet: «For hvilken $x$ er $f(x) = 0$ ?» Da må du jobbe baklengs og løse en likning i stedet for å sette inn. Begge deler er like viktige, og du kommer til å trenge begge når vi nå går videre til grafer.

📝Oppgave Quiz 1

Bildet av funksjonen: grafen

Tenk deg at du noterer alle tallparene maskinen lager: $(0, 3)$ , $(1, 5)$ , $(2, 7)$ og så videre. Tegner du dem inn i et koordinatsystem -- med $x$ langs den vannrette x-aksen og $y = f(x)$ langs den loddrette y-aksen -- vokser det fram et bilde av funksjonen. Dette bildet kaller vi grafen. Hvert eneste punkt på grafen har koordinater $(x, y)$ der $y = f(x)$ .

Grafen er nyttig fordi vi kan lese av funksjonsverdier uten å regne. Vil du finne $f(3)$ fra en graf, finner du først $x = 3$ på x-aksen, går loddrett opp til du treffer grafen, og leser av y-verdien der du traff. For funksjonen $f(x) = 2x + 10$ ville du da landet på $y = 16$ , fordi $f(3) = 16$ .

To punkter på grafen er ekstra interessante. Der grafen krysser y-aksen, er $x = 0$ , så det punktet finner du ved å regne ut $f(0)$ . Der grafen krysser x-aksen, er $y = 0$ -- dette kalles nullpunktet, og du finner det ved å løse likningen $f(x) = 0$ . Ta funksjonen $g(x) = 10 - 2x$ som eksempel: Den krysser y-aksen i $g(0) = 10$ , og nullpunktet finner vi av $10 - 2x = 0$ , som gir $x = 5$ . Til slutt ett begrep til: Definisjonsmengden er alle $x$ -verdiene funksjonen er definert for -- i praktiske situasjoner er det ofte bare verdier som gir mening, som positive tider eller antall.

📝Oppgave Quiz 2

Fortellingen om funksjonen

Vi startet med en brusautomat, og nå har du hele bildet: En funksjon er en regel som til hver $x$ -verdi gir nøyaktig én verdi $f(x)$ . Inngangsverdien $x$ er den uavhengige variabelen, og resultatet $f(x)$ er den avhengige. Å finne en funksjonsverdi som $f(3)$ er bare å sette inn tallet i uttrykket og regne ut.

Alle tallparene funksjonen lager, kan tegnes som en graf i et koordinatsystem -- og da blir matematikken visuell. At $f(2) = 7$ betyr at grafen går gjennom punktet $(2, 7)$ . Vil du vite hvor grafen krysser y-aksen, regner du ut $f(0)$ . Vil du finne nullpunktet, der grafen krysser x-aksen, løser du likningen $f(x) = 0$ . Og definisjonsmengden forteller hvilke $x$ -verdier som i det hele tatt er lov å putte inn.

Med funksjonsbegrepet på plass er du klar for neste steg i fortellingen: de lineære funksjonene, der grafen alltid er en rett linje -- og der stigningstall og konstantledd forteller alt.