2.3 Likninger i praksis

Oversetterjobben

I forrige kapittel fikk du likningene servert ferdig oppsatt. I virkeligheten kommer problemene som tekst: en melding fra sjefen på deltidsjobben, en oppgave på prøven, en diskusjon rundt middagsbordet. Kunsten er å oversette teksten til en likning -- og den kunsten har en oppskrift.

Først leser du oppgaven nøye og spør: hva er ukjent her? Deretter velger du en variabel -- la den ukjente være $x$. Så setter du opp likningen ved å oversette teksten til matematikk, setning for setning. Du løser likningen med balansemetoden fra forrige kapittel. Og til slutt kontrollerer du svaret: stemmer det med teksten, og gir det mening?

La oss prøve oppskriften. Maria er 3 år eldre enn broren Lars, og til sammen er de 25 år. Hvor gamle er de? Det ukjente er alderen deres, så vi lar $x$ være Lars sin alder. Maria er 3 år eldre, altså $x + 3$. «Til sammen 25 år» betyr at summen er 25:

$$x + (x + 3) = 25$$

Nå er det ren likningsløsing: $2x + 3 = 25$, så $2x = 22$ og $x = 11$. Lars er 11 år og Maria er $11 + 3 = 14$ år. Kontroll mot teksten: $11 + 14 = 25$, og $14 - 11 = 3$. Begge opplysningene stemmer -- oversettelsen var riktig.

Legg merke til at det vanskeligste ikke var å løse likningen, men å sette den opp. Det er selve oversetterjobben, og den blir lettere for hver oppgave du gjør.

Formler -- likninger med flere bokstaver

På vei hjem fra skolen lurer du på hvor lang tid sykkelturen tar. Da bruker du kanskje fartsformelen $\displaystyle v = \frac{s}{t}$, der $v$ er fart, $s$ er strekning og $t$ er tid. En formel er nettopp dette: en likning som viser sammenhengen mellom flere størrelser.

Men formelen er skrevet for å finne farten. Hva om du kjenner farten og strekningen, og vil finne tiden? Da må vi omforme formelen -- løse den for en annen variabel. Og her er den gode nyheten: vi bruker nøyaktig de samme balansereglene som for vanlige likninger. Vil vi finne strekningen, ganger vi begge sider med $t$ og får $s = v \cdot t$. Vil vi finne tiden, deler vi deretter på $v$ og får $\displaystyle t = \frac{s}{v}$. Én formel, tre varianter -- samme sammenheng.

La oss ta en til. Omkretsen av et rektangel er $O = 2l + 2b$, der $l$ er lengden og $b$ er bredden. Du skal bygge en rektangulær innhegning, kjenner omkretsen og bredden, og vil finne lengden. Vi løser for $l$: trekk fra $2b$ på begge sider og få $O - 2b = 2l$, og del så på 2:

$$l = \frac{O - 2b}{2}$$

som også kan skrives $\displaystyle l = \frac{O}{2} - b$. Behandle bokstavene akkurat som du behandler tall -- det er hele hemmeligheten. Den variabelen du vil ha alene, frigjør du lag for lag, mens de andre bokstavene bare blir med på lasset.

Salgsprisen som skjulte originalprisen

Du finner en hettegenser på salg til 450 kr, merket «$-25\%$». En venn spør: «Hva kostet den egentlig før?» Mange ville prøvd å legge 25 % på 450 kr -- men det blir feil, for rabatten ble regnet av den gamle prisen, ikke den nye. Dette er en perfekt jobb for en likning.

La $x$ være prisen før rabatt. Etter 25 % avslag betaler du 75 % av original­prisen -- vekstfaktoren for 25 % nedgang er $0{,}75$. Altså:

$$x \cdot 0{,}75 = 450$$

Del på $0{,}75$ på begge sider: $\displaystyle x = \frac{450}{0{,}75} = 600$. Genseren kostet 600 kr før salget. Kontroll: $600 \cdot 0{,}75 = 450$. Og legg merke til at den gale metoden ville gitt $450 \cdot 1{,}25 = 562{,}50$ kr -- et svar som ser troverdig ut, men er feil. Likningen tvinger oss til å tenke riktig vei.

Slik brukes likninger til alt mulig i praksis: beregne ukjente lengder og arealer, finne priser og rabatter, løse problemer med fart, tid og avstand, og gjøre økonomiske beregninger. Mønsteret er alltid det samme som i oversetteroppskriften: finn den ukjente, døp den $x$, oversett opplysningene til en likning, løs -- og kontroller at svaret gir mening i den virkelige situasjonen. Et svar som sier at en genser kostet $-200$ kr eller at broren er 40 år eldre enn søsteren, er et hint om at oversettelsen gikk skeis.

Fortellingen om oversettelsen -- kort fortalt

Dette kapittelet handlet om å bygge bro mellom tekst og matematikk. Oppskriften i fem steg bar oss gjennom alt: les nøye og finn det ukjente, velg variabel, sett opp likningen, løs den, og kontroller at svaret gir mening. Slik fant vi at Lars var 11 og Maria 14, fra bare to setninger om alder.

Så møtte vi formlene -- likninger med flere bokstaver som beskriver sammenhenger, som fartsformelen $\displaystyle v = \frac{s}{t}$ og omkretsformelen $O = 2l + 2b$. Å omforme en formel er å løse den for en annen variabel, med nøyaktig de samme balansereglene som alltid: $\displaystyle t = \frac{s}{v}$ og $\displaystyle l = \frac{O - 2b}{2}$ var bare den gamle sangen i ny toneart.

Og til slutt salgsprisen: genseren til 450 kr etter 25 % rabatt kostet 600 kr, fordi likningen $0{,}75x = 450$ tvang oss til å regne fra riktig ende. Det er kanskje kapittelets viktigste innsikt: likninger er ikke bare regneteknikk, de er en måte å tenke ryddig på når virkeligheten serverer oss tall i feil rekkefølge.