2.1 Tall og tallforståelse

Bestillingen ingen vet prisen på

Klassen din skal bestille russegensere, men trykkeriet har ikke gitt dere prisen per genser ennå. Hvordan kan dere likevel sette opp et budsjett? Dere kan kalle prisen for $x$ og skrive «25 gensere pluss 500 kr i frakt» som $25x + 500$. Den dagen prisen kommer, setter dere bare inn tallet. Velkommen til algebra -- den delen av matematikken der vi bruker bokstaver for å representere tall.

Med bokstaver kan vi uttrykke generelle sammenhenger og løse problemer før vi kjenner alle tallene. Uttrykk som $3x + 5$, $2a - 4b$ og $x^2 + 2x - 1$ kalles algebraiske uttrykk, og de har sitt eget vokabular som du trenger å kunne.

En variabel er en bokstav som representerer et tall, for eksempel $x$, $y$ eller $a$. Koeffisienten er tallet som står foran variabelen -- i $3x$ er koeffisienten 3, og den betyr «tre ganger $x$». Et konstantledd er et tall som står alene uten variabel; i $2x + 5$ er 5 konstantleddet. Og et ledd er hver av delene i uttrykket, adskilt med pluss eller minus -- uttrykket $3x + 2y - 1$ har tre ledd.

I genserbudsjettet $25x + 500$ er altså $x$ variabelen (prisen per genser), 25 koeffisienten (antall gensere) og 500 konstantleddet (frakten som er fast uansett pris).

Rydde i uttrykket -- like ledd

Bestillingen vokser: først ville 4 elever ha genser, så kom 3 til. Totalt trenger dere $4x + 3x$ kroner til gensere -- men det er jo bare $7x$! Å slå sammen ledd på denne måten kalles å forenkle uttrykket, og det er algebraens ryddejobb.

Regelen er at vi bare kan slå sammen like ledd -- ledd som har samme variabel med samme eksponent. $3x$ og $5x$ er like ledd og kan slås sammen til $8x$. Derimot er $2x$ og $2y$ ikke like ledd; en genser og en caps er forskjellige varer, og $x$-er og $y$-er kan ikke blandes. Heller ikke $x^2$ og $x$ er like ledd, selv om begge inneholder $x$ -- eksponenten må også være lik.

La oss rydde i noen uttrykk. $4x + 3x = 7x$ -- vi legger rett og slett sammen koeffisientene. I $5a - 2a + 3$ slår vi sammen $a$-leddene og lar konstantleddet stå: $3a + 3$. Og i $2x + 3y - x + 4y$ sorterer vi først leddene etter variabel, og slår så sammen: $2x - x + 3y + 4y = x + 7y$.

Legg merke til at fortegnet foran et ledd hører til leddet. Når $-x$ flyttes rundt i uttrykket, må minusen bli med på flyttelasset. Tenk på hvert ledd som en lapp med fortegnet skrevet på -- da går sorteringen trygt for seg.

Gange inn i parenteser

Trykkeriet sender et tilbud: «$x + 4$ kroner per genser hvis dere tar med navnetrykk». Klassen vil ha 3 slike gensere, og kostnaden blir $3(x + 4)$. Hvordan regner vi ut det? Vi må gange 3 med hvert ledd inni parentesen:

$$a(b + c) = ab + ac$$

Denne regelen kalles distributiv lov, og den er en av algebraens mest brukte. For genserne: $3(x + 4) = 3 \cdot x + 3 \cdot 4 = 3x + 12$. Tre gensere koster tre ganger grunnprisen pluss tre navnetrykk -- helt logisk.

Det blir mer spennende med negative tall foran parentesen. Se på $-2(a - 5)$: vi ganger $-2$ med $a$ og får $-2a$, og så ganger vi $-2$ med $-5$ og får $+10$, siden minus ganger minus gir pluss. Altså $-2(a - 5) = -2a + 10$.

Og her ligger den klassiske fellen: mange skriver $-2(x - 3) = -2x - 6$. Feil! Minusen skal gange begge leddene: $-2(x - 3) = -2x + 6$. Sjekk alltid det siste leddet ekstra nøye når det står minus foran parentesen.

Til slutt kan vi kombinere alt vi har lært: gange ut parentesen først, og deretter forenkle ved å slå sammen like ledd. $5(2x - 3) + 2x = 10x - 15 + 2x = 12x - 15$. Først distributiv lov, så opprydding -- den arbeidsgangen kommer du til å bruke om og om igjen, ikke minst når vi skal løse likninger i neste kapittel.

Fortellingen om bokstavregningen -- kort fortalt

Russegenserne uten prislapp viste oss poenget med algebra: med en variabel som $x$ kan vi regne med tall vi ikke kjenner ennå. I uttrykket $25x + 500$ fant vi koeffisienten 25, konstantleddet 500 og lærte at uttrykket består av ledd adskilt med pluss og minus.

Forenkling handler om å slå sammen like ledd -- ledd med samme variabel og samme eksponent. $4x + 3x$ blir $7x$, men $2x$ og $2y$ må stå hver for seg, akkurat som gensere og capser på hver sin linje i budsjettet. Fortegnet hører alltid til leddet sitt.

Og når et tall står utenfor en parentes, sier den distributive loven at det skal ganges med hvert ledd inni: $a(b+c) = ab + ac$, slik $3(x+4)$ ble $3x + 12$. Den lumske fellen er minustegn foran parentesen: $-2(x-3) = -2x + 6$, fordi minus ganger minus gir pluss.

Disse tre ferdighetene -- navngi, forenkle og gange ut -- er selve grunnmuren for likningene som venter i neste kapittel.