1.1 Prosentregning

Salgsplakaten i butikkvinduet

Du står utenfor en butikk og ser en plakat: «30 % på alle jakker!» Inne i butikken henger jakka du har hatt lyst på lenge, med prislapp 1200 kr. Hvor mye sparer du egentlig? Og hva må du betale? For å svare på det trenger du prosentregning -- et av de mest brukte matematiske verktøyene i hverdagen.

Ordet prosent betyr «per hundre», og vi skriver det med symbolet %. Når noe er 1 %, betyr det 1 av 100, altså $\displaystyle \frac{1}{100} = 0{,}01$. På samme måte er 50 % det samme som 50 av 100, altså $\displaystyle \frac{50}{100} = 0{,}5$ -- halvparten. Og 100 % er hele, altså tallet 1. Den generelle regelen er at $\displaystyle p\% = \frac{p}{100}$: prosent er rett og slett hundredeler.

Dette gir oss en enkel oppskrift for å veksle mellom prosent og desimaltall. Skal du fra prosent til desimaltall, deler du på 100: $25\% = 0{,}25$, $7\% = 0{,}07$, og $150\% = 1{,}5$. Legg merke til at prosenter godt kan være større enn 100 -- da snakker vi om mer enn det hele. Skal du motsatt vei, fra desimaltall til prosent, ganger du med 100: $0{,}45 = 45\%$, $0{,}08 = 8\%$ og $1{,}2 = 120\%$.

Prosent dukker opp overalt: rabatter på nettbutikker, renter i banken, skatt på lønnsslippen fra deltidsjobben og statistikk i nyhetene. I dette kapittelet skal vi lære alt vi trenger for å håndtere dem.

Hvor stor andel? Prosentandelen

Tilbake til hverdagen: I klassen din er det 25 elever, og 15 av dem er jenter. Hvor mange prosent av klassen er jenter? Når vi vil finne ut hvor stor del noe utgjør av en helhet, regner vi ut prosentandelen med formelen

$$\text{Prosentandel} = \frac{\text{del}}{\text{helhet}} \cdot 100\%$$

Delen her er de 15 jentene, og helheten er alle de 25 elevene. Da får vi $\displaystyle \frac{15}{25} \cdot 100\% = 0{,}6 \cdot 100\% = 60\%$. Seksti prosent av klassen er jenter.

La oss ta et eksempel til, fra arbeidslivet. En butikkjede har 80 ansatte, og 12 av dem jobber deltid -- kanskje elever som deg, som jobber noen kvelder i uka. Prosentandelen som jobber deltid blir $\displaystyle \frac{12}{80} \cdot 100\% = 0{,}15 \cdot 100\% = 15\%$.

Mønsteret er alltid det samme: finn ut hva som er delen og hva som er helheten, del delen på helheten, og gang med 100 %. Det vanskeligste er ofte ikke selve regningen, men å identifisere hva som faktisk er helheten i situasjonen. Spør deg selv: «av hva?» -- 15 jenter av 25 elever, 12 deltidsansatte av 80 ansatte.

Rabatten på jakka -- prosent av et tall

Nå kan vi endelig finne ut hva jakka koster. Når vi skal finne en prosentandel av et tall, gjør vi om prosenten til desimaltall og ganger:

$$p\% \text{ av } a = \frac{p}{100} \cdot a$$

Rabatten på jakka er 30 % av 1200 kr, altså $0{,}30 \cdot 1200 = 360$ kr. Du sparer 360 kr, og betaler $1200 - 360 = 840$ kr. På samme måte er 20 % av 450 kr lik $0{,}20 \cdot 450 = 90$ kr.

Men det finnes en smartere vei rett til den nye prisen: vekstfaktor. Vekstfaktoren er tallet vi ganger med for å finne ny verdi etter en prosentvis endring. Når noe øker med $p\%$, er vekstfaktoren $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$, og når noe minker med $p\%$, er den $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$. Ny verdi er alltid gammel verdi ganger vekstfaktoren.

En økning på 10 % gir altså vekstfaktor $1{,}10$, en økning på 25 % gir $1{,}25$, en nedgang på 15 % gir $0{,}85$, og en nedgang på 50 % gir $0{,}50$. For jakka med 30 % rabatt er vekstfaktoren $1 - 0{,}30 = 0{,}70$, og den nye prisen blir $1200 \cdot 0{,}70 = 840$ kr -- i ett eneste regnestykke.

Vekstfaktor fungerer like godt oppover. En vare til 800 kr som øker med 15 % i pris, koster etterpå $800 \cdot 1{,}15 = 920$ kr. Og en aksje verdt 1500 kr som faller 20 %, er verdt $1500 \cdot 0{,}80 = 1200$ kr. Vekstfaktoren blir spesielt nyttig senere, når vi skal regne med renter som virker år etter år.

Renta steg med 2 prosentpoeng -- eller var det 50 prosent?

Du hører på nyhetene at boliglånsrenta har økt fra 4 % til 6 %. Hvor stor er egentlig økningen? Det kommer an på hvordan du måler!

Forskjellen mellom de to prosenttallene er $6 - 4 = 2$. Da sier vi at renta har økt med 2 prosentpoeng. Prosentpoeng er rett og slett differansen mellom to prosentsatser.

Men hvis vi spør hvor mange prosent renta har økt, må vi sammenligne økningen med utgangspunktet, akkurat som med prosentandel: $\displaystyle \frac{6-4}{4} \cdot 100\% = \frac{2}{4} \cdot 100\% = 50\%$. Renta har altså økt med 50 %! For den som betaler på lånet, betyr det at rentekostnadene har blitt halvannen gang så store.

Her er det lett å gå i surr, og medier blander disse begrepene støtt og stadig. Husk skillet: endringer mellom prosentsatser måles i prosentpoeng, mens prosentvis endring alltid måles i forhold til den gamle verdien. «Fra 4 % til 6 %» er 2 prosentpoeng, men 50 % økning. Tilsvarende: hvis oppslutningen til et parti faller fra 10 % til 5 % på en meningsmåling, har partiet mistet 5 prosentpoeng -- men halvparten av velgerne sine, altså en nedgang på 50 %.

Fortellingen om prosent -- kort fortalt

Vi startet utenfor butikkvinduet med en jakke til 1200 kr og 30 % rabatt. Nå vet du nøyaktig hva som skjer med prisen -- og mye mer.

Prosent betyr hundredeler: $\displaystyle p\% = \frac{p}{100}$. Fra prosent til desimaltall deler du på 100, og motsatt vei ganger du med 100. Når du vil vite hvor stor del noe er av en helhet, finner du prosentandelen med $\displaystyle \frac{\text{del}}{\text{helhet}} \cdot 100\%$ -- som da 15 av 25 elever viste seg å være 60 %. Skal du finne en prosent av et tall, gjør du om til desimaltall og ganger, slik rabatten på 30 % av 1200 kr ble 360 kr.

Den raskeste veien til ny verdi etter en endring går via vekstfaktoren: $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$ ved økning og $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$ ved nedgang. Jakka kostet $1200 \cdot 0{,}70 = 840$ kr -- ett regnestykke, ferdig.

Og til slutt det lumske skillet fra nyhetene: når renta går fra 4 % til 6 %, er det 2 prosentpoeng -- men en prosentvis økning på hele 50 %, fordi prosentvis endring alltid måles mot utgangspunktet. Med disse verktøyene i sekken er du rustet for både salgsplakater, lønnsslipper og nyhetssendinger.