7.4 Forholdstall og proporsjonalitet

Forhold overalt

Du skal bake boller, og oppskriften er til $20$ stykker. Men du trenger bare $10$. Hva gjør du? Du halverer alle ingrediensene. Dette er et hverdagseksempel på proporsjonalitet -- når du endrer en størrelse, endrer en annen seg tilsvarende.

Forholdstall og proporsjonalitet dukker opp overalt: i oppskrifter, på kart, i valutaomregning, i blandingsforhold og i mange praktiske problemer.

Forholdstall

Et forholdstall beskriver forholdet mellom to (eller flere) storrelser. Vi skriver det som $a : b$ eller $\displaystyle \frac{a}{b}$.

Tenk på en klasse med $12$ gutter og $18$ jenter. Forholdet er $12 : 18$, som vi kan forenkle ved å dele på største felles faktor ($6$): $12 : 18 = 2 : 3$. Det betyr at for hver $2$ gutter er det $3$ jenter.

For å forenkle et forholdstall deler du begge tallene på SFF. For å utvide ganger du begge med samme tall. For desimaltall (som $0{,}5 : 1{,}5$) ganger du først med $10$ eller $100$ for å fa hele tall, og forenkler så: $0{,}5 : 1{,}5 = 5 : 15 = 1 : 3$.

Forholdstall er også nyttige for a fordele. Hvis en arv på $600\,000$ kr skal deles i forholdet $2 : 3 : 5$, betyr det $2 + 3 + 5 = 10$ deler totalt. Hver del er $60\,000$ kr, så de tre søknene får henholdsvis $120\,000$, $180\,000$ og $300\,000$ kr.

Rett proporsjonalitet

To storrelser $x$ og $y$ er rett proporsjonale når forholdet mellom dem er konstant:

$$\frac{y}{x} = k \quad \text{(konstant)}, \quad \text{dvs.} \quad y = kx$$

Konstanten $k$ kalles proporsjonalitetskonstanten. Kjennetegn: når $x$ dobles, dobles $y$. Når $x$ tredobles, tredobles $y$. Grafen er en rett linje gjennom origo.

Tenk på epler som koster $30$ kr per kilo. Kjoper du $2$ kg, betaler du $60$ kr. Kjoper du $5$ kg, betaler du $150$ kr. Forholdet $\displaystyle \frac{\text{pris}}{\text{kg}} = 30$ er det samme hele veien.

En bil bruker $0{,}6$ liter bensin per mil. På $35$ mil bruker den $0{,}6 \times 35 = 21$ liter. Tilsvarende: en oppskrift til $4$ personer bruker $300$ g mel. Til $7$ personer trenger du $\displaystyle \frac{300}{4} \times 7 = 525$ g.

Omvendt proporsjonalitet og målestokk

Noen ganger går det motsatt vei: når den ene storrrelsen oker, synker den andre. To storrelser $x$ og $y$ er omvendt proporsjonale når produktet er konstant:

$$x \cdot y = k, \quad \text{dvs.} \quad y = \frac{k}{x}$$

Når $x$ dobles, halveres $y$. Grafen er en hyperbel. Klassisk eksempel: $6$ arbeidere bruker $10$ dager på et prosjekt ($k = 60$ persondager). Med $15$ arbeidere tar det bare $\displaystyle \frac{60}{15} = 4$ dager. En bil kjorer en strekning på $3$ timer med $80$ km/t. Med $60$ km/t tar det $\displaystyle \frac{240}{60} = 4$ timer.

Et siste viktig tema er målestokk, som er forholdet mellom en avstand på kartet og den virkelige avstanden. $1 : 50\,000$ betyr at $1$ cm på kartet tilsvarer $50\,000$ cm $= 500$ m i virkeligheten. For å finne virkelig lengde ganger du kartlengden med malestokkstallet. For å finne kartlengde deler du den virkelige lengden på malestokkstallet. Husk å gjøre om til samme enhet (oftest cm) for du regner!

Et kart med $1 : 50\,000$: er kartavstanden $3{,}4$ cm, er den virkelige avstanden $3{,}4 \times 50\,000 = 170\,000$ cm $= 1{,}7$ km.

Oppsummering

Forholdstall ($a : b$) forenkles ved å dele på SFF og brukes til å fordele, sammenligne og beregne.

Rett proporsjonalitet: $y = kx$ -- forholdet $\displaystyle \frac{y}{x}$ er konstant. Dobler du $x$, dobles $y$. Grafen er en rett linje gjennom origo.

Omvendt proporsjonalitet: $\displaystyle y = \frac{k}{x}$ -- produktet $x \cdot y$ er konstant. Dobler du $x$, halveres $y$. Grafen er en hyperbel.

Målestokk ($1 : n$): $1$ enhet på kartet $= n$ enheter i virkeligheten. Gjør alltid om til samme enhet for du regner.